Entropie de Rényi
L'entropie de Rényi, due à Alfréd Rényi, est une fonction mathématique qui correspond à la quantité d'information contenue dans la probabilité de collision d'une variable aléatoire.
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Définition
Étant donnés une variable aléatoire discrète à valeurs possibles , ainsi qu'un paramètre réel strictement positif et différent de 1, l' entropie de Rényi d'ordre de est définie par la formule :
Cas particuliers
L'entropie de Rényi généralise d'autres acceptions de la notion d'entropie, qui correspondent chacune à des valeurs particulières de .
Entropie de Hartley
Le cas donne :
ce qui correspond au logarithme du cardinal de , qui correspond à l'entropie de Hartley.
Entropie de Shannon
D'après la règle de L'Hôpital, on peut trouver une limite à quand tend vers 1 :
Cette expression correspond à l'entropie de Shannon.
Entropie de collision
Dans le cas où , on trouve l'entropie dite de collision, appelée parfois simplement « entropie de Rényi » :
où Y est une variable aléatoire indépendante et identiquement distribuée par rapport à X.
Propriétés
Décroissance selon α
est une fonction décroissante de .
Preuve
Soit une distribution de probabilité
avec la distribution de probabilité des et la Divergence de Kullback-Leibler de par rapport .
Puisque cette divergence est positive, la dérivée de l'entropie de Rényi en devient négative et donc est bien décroissante en .
Preuve alternative
Soit une distribution de probabilité,
L'inégalité provient de l'Inégalité de Jensen appliquée dans les cas suivants à , en notant :
- Si, et donc est convexe et .
- Si, donc est convexe et .
- Si, donc est concave .
- Si l'application de l'inégalité est immédiate.
Ce qui donne la croissance de .
Relations entre les entropies de différents ordres
L'entropie de Rényi est donc une fonction décroissante de son ordre.
De plus, on remarque que puisque .
Divergence de Rényi
Pour deux distributions de probabilités et , la divergence de Rényi de selon est définie comme :
La limite existe et correspond à la Divergence de Kullback-Leibler.
Voir aussi
Article connexe
Bibliographie
- (en) A. Rényi, « On measures of entropy and information », dans Proc. 4th Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability', vol. 1, , p. 547-561.
- (en) Christian Cachin, Entropy Measures and Unconditional Security in Cryptography, (lire en ligne [PDF])
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