Sous-espace affine engendré
En géométrie, dans un espace affine , le sous-espace affine engendré par une partie non vide , également dénommé l'enveloppe affine de , est le plus petit sous-espace affine de contenant .
Définition
Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine[1] et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante :
Soit un espace affine. Pour toute partie non vide de , il existe un plus petit sous-espace affine de contenant : l'intersection de tous les sous-espaces affines de contenant [1].
On l'appelle le sous-espace affine engendré par , et on le note souvent [1] ou [2], ou encore [3].
Propriétés
Soient et des espaces affines et , deux parties non vides de et une partie non vide de .
- est égal à l'ensemble des barycentres des points de [4].
- Si est une application affine alors [5].
- (dans l'espace affine produit ).
- et son enveloppe convexe engendrent le même sous-espace affine.
- Pour tout point de , la direction de est le sous-espace vectoriel engendré (dans l'espace vectoriel associé à ) par .
- est un opérateur de clôture : , , et .
Notes et références
- Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook université, (lire en ligne), p. 33.
- Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Bréal, (lire en ligne), p. 256.
- (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (no 28), (lire en ligne), p. 6 (se limite au cas ).
- Mercier 2005, p. 37.
- Mercier 2005, p. 49.
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