Espace d'échelle

Soit[8] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ un signal. On appelle représentation d'une fonction f en espace d'échelles linéaire la fonction ${\displaystyle L}$ telle que :

${\displaystyle L:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle L(x,0)=f(x)\forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle L(x,t)=g_{\sqrt {t}}*f(x)\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\forall t\in \mathbb {R} ^{+}}$

où

- ${\displaystyle g_{\sqrt {t}}(x)={\frac {1}{(2\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{\frac {-x^{T}x}{2t}}}$

- ${\displaystyle *}$ est l'opérateur de convolution : ${\displaystyle f*g(x)=\int \limits _{y\in \mathbb {R} ^{n}}g(y_{1},y_{2},...,y_{n})f(y_{1}-x_{1},y_{2}-x_{2},...,y_{n}-x_{n})\,\mathrm {d} y_{1}..dy_{n}}$

- ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ et ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {t}}}$ est le facteur d'échelle, ${\displaystyle (x,{\sqrt {t}})}$ est l'espace d'échelle.