Excursion brownienne

Dans la théorie des probabilités, une excursion brownienne est un processus stochastique, qui est étroitement liée à un processus de Wiener (ou mouvement brownien). Les réalisations de l'excursion brownienne sont essentiellement des réalisations d'un processus de Wiener spécifique, qui satisfait à certaines conditions. En particulier, une excursion brownienne est un processus de Wiener conditionné à être positif et à prendre la valeur 0 au temps 1. On peut aussi le définir comme un pont brownien conditionné à être positif[1].

Une représentation de l'excursion brownienne.

Définition

Une représentation d'une excursion brownienne $W$ en termes d'un mouvement brownien W (due à Paul Lévy et notée par Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr[2]) se donne en termes de la dernière fois $\tau _{-}$ que W atteint zéro, avant le temps 1 et la première fois $\tau _{+}$ que le mouvement brownien $W$ atteint zéro, après le temps 1:

\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.

Si $\tau _{m}$ est le temps auquel un pont brownien $W_{0}$ atteint son minimum sur [0, 1], Vervaat (1979) montre que

\{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.

Notes et références

Durrett, Iglehart, Functionals of Brownian meander and Brownian excursion (1975)
Itô et McKean (1974, page 75)

Bibliographie

Chung, Kai Lai (1975). «Maxima in Brownian excursions». Bulletin of the American Mathematical Society. 81 (4): 742–745. ISSN 0002-9904. doi:10.1090/s0002-9904-1975-13852-3.
Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). «Functionals of Brownian Meander and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995896.
Groeneboom, Piet (1983). "The concave majorant of Brownian motion". Annals of Probability. 11: 1016–1027. JSTOR 2243513. MR 714964. doi:10.1214/aop/1176993450.
Groeneboom, Piet (1989). "Brownian motion with a parabolic drift and Airy functions". Probability Theory and Related Fields. 81: 79–109. MR 981568. doi:10.1007/BF00343738.
Itô, Kiyosi; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Diffusion Processes and their Sample Paths. Classics in Mathematics (Second printing, corrected ed.). Springer-Verlag, Berlin. (ISBN 978-3540606291). MR 0345224.
Janson, Svante (2007). "Brownian excursion area, Wright's constants in graph enumeration, and other Brownian areas". Probability Surveys. 4: 80–145. MR 2318402. doi:10.1214/07-ps104.
Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Tail estimates for the Brownian excursion area and other Brownian areas.". Electronic Journal of Probability. 12: 1600–1632. MR 2365879. doi:10.1214/ejp.v12-471.
Kennedy, Douglas P. (1976). "The distribution of the maximum Brownian excursion". J. Appl. Probability. 13: 371–376. JSTOR 3212843. MR 402955 A.
Lévy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien. Gauthier-Villars, Paris. MR 0029120.
Louchard, Guy (1984). "Kac's formula, Levy's local time and Brownian excursion". J. Appl. Probability. 21: 479–499. JSTOR 3213611. MR 752014.
Pitman, J. W. (1983). "Remarks on the convex minorant of Brownian motion". Progr. Probab. Statist. 5. Birkhauser, Boston: 219–227. MR 733673.
Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Continuous Martingales and Brownian Motion. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (Book 293). Springer-Verlag, Berlin. MR 1725357.
Vervaat, Wim (1979). "A relation between Brownian bridge and Brownian excursion". Annals of Probability. 7: 143–149. JSTOR 2242845. MR 515820. doi:10.1214/aop/1176995155.

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[1] Durrett, Iglehart, Functionals of Brownian meander and Brownian excursion (1975)

[IM-2] Itô et McKean (1974, page 75)