Extension de groupes

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte

1\to N\to G\to Q\to 1

.

Autrement dit : G est une extension de Q par N[1] si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N.

Notions associées

L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
Une section de l'extension $1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1$ est un morphisme $s:Q\to G\quad {\text{tel que}}\quad p\circ s=\mathrm {id} _{Q}.$ L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs $N\rtimes Q$ . Les groupes Q dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres[2].
Un morphisme d'extensions ${\text{de}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1\quad {\text{dans}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i'}}G'{\xrightarrow {p'}}Q{\xrightarrow {}}1$ est un morphisme $\varphi :G\to G'$ tel que le diagramme associé ${\begin{matrix}&&&G&&&\\&&{\overset {i}{\nearrow }}&&{\overset {p}{\searrow }}&&\\N&&&\downarrow ^{\varphi }&&&Q\\&&{\underset {i'}{\searrow }}&&{\underset {p'}{\nearrow }}&&\\&&&G'&&&\end{matrix}}$ commute, c'est-à-dire tel que $\varphi \circ i=i'\quad {\text{et}}\quad p'\circ \varphi =p.$ D'après le lemme des cinq court (en), un tel morphisme $\varphi$ est toujours un isomorphisme.

Notes et références

C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
- (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et
- (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
- (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;
- (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et
- (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.
(en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.

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[1] C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

(en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

(de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

(en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

(en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

(en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.

[2] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

[3] (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

[4] (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.

[5] Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

[6] (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

[7] (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

[8] (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

[9] (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.

[2] (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.