Distribution de Boltzmann

En physique statistique, la distribution de Boltzmann prédit la fonction de distribution pour le nombre fractionnaire de particules N_i / N occupant un ensemble d'états i qui ont chacun pour énergie E_i :

${\displaystyle {{N_{i}} \over {N}}={\frac {g_{i}e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}}}{Z(T)}}}$

où ${\displaystyle k_{B}}$ est la constante de Boltzmann, T est la température (postulée comme étant définie très précisément), ${\displaystyle g_{i}}$ est la dégénérescence, ou le nombre d'états d'énergie ${\displaystyle E_{i}}$, N est le nombre total de particules :

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}\,}$

et Z(T) est appelée fonction de partition, qui peut être considérée comme égale à :

${\displaystyle Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}}}$.

D'autre part, pour un système simple à température définie de manière exacte, elle donne la probabilité pour que le système soit dans l'état spécifié. La distribution de Boltzmann s'applique seulement pour des particules à assez haute température et assez faible densité pour que les effets quantiques soient ignorés, et que ces particules obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann (se référer à cet article pour la démonstration de la distribution de Boltzmann).
La distribution de Boltzmann est parfois écrite en termes de β = 1/kT où β est le bêta thermodynamique. Le terme exp(−βE_i) ou exp(−E_i/kT), qui donne la probabilité relative (non normalisée) d'un état, est appelé facteur de Boltzmann et apparaît parfois dans les études en physique et chimie.
Lorsque l'énergie est identifiée à l'énergie cinétique de la particule :

${\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},}$

la distribution suit une statistique de Maxwell-Boltzmann des vitesses de molécules gazeuses, auparavant prédite par Maxwell en 1859. La distribution de Boltzmann est, cependant, plus générale. Par exemple, elle prédit aussi les variations de la densité de particules dans un champ gravitationnel en fonction de la hauteur, si ${\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh}$. En fait, cette distribution s'applique dans tous les cas où les considérations quantiques peuvent être ignorées.

Dans certains cas, une approximation continue existe. S'il existe g(E) dE états d'énergie comprise entre E et E + dE, la distribution de Boltzmann prédit la distribution de probabilité pour l'énergie :

${\displaystyle p(E)\,dE={g(E)e^{-\beta E} \over {\int g(E')e^{-\beta E'}}\,dE'}\,dE.}$

g(E) est appelé densité d'états si le spectre énergétique est continu.
Les particules classiques avec cette distribution d'énergie obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite classique, i.e. pour des valeurs élevées de E/kT ou une faible densité d'états— lorsque les fonctions d'ondes des particules ne se superposent pas en pratique, les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac s'identifient à une distribution de Boltzmann.