Figure de Chladni

Lorsqu'on place une poudre[1] sur une plaque en vibration, on observe l'apparition de motifs géométriques, ceux-ci évoluant avec la fréquence de vibration de la plaque. La matérialisation de ces lignes forme les figures dites de Chladni, au nom du savant E. Chladni.

Plusieurs figures de Chladni sur des plaques en laiton, de formes variées.

Ces motifs dévoilent l'emplacement de lignes nodales, c'est à dire à dire de lignes formées des nœuds de vibration, là où les ondes sont destructives et l'amplitude nulle. Ces dernières sont caractéristiques du mode propre excité.

Fonctionnement

Une plaque horizontale est fixée de manière rigide sur un support central. Elle peut être de taille, de forme et d'épaisseur variée. Historiquement, les plaques utilisées par Chladni étaient en métal, mais de nombreux matériaux[2] permettent la formation de motifs nets et nombreux.

Apparition d'une figure de Chladni avec un archet.

Une fois la plaque fixée au support, on dispose du sable sur celle-ci puis on la met en vibration, par exemple grâce à un archet que l'on frotte verticalement sur le bord de la plaque. Sous l'excitation de l'archet, la plaque vibre, et le sable se déplace depuis les zones de forte vibration vers les zones où elle est moins forte, voire nulle (respectivement ventres et nœuds de vibration de l'onde stationnaire), formant ainsi des figures de Chladni. La pratique actuelle est de mettre les plaques en vibration par un vibreur de Melde[3].

Apparition d'une figure de Chladni avec un vibreur de Melde.

Dans le cas du vibreur de Melde, le point central possède une condition sur son mouvement[4], tandis que la périphérie de ces plaques n'est pas assujettie au support. Elle est donc libre de vibrer[5].

En étudiant une même plaque, la modification de la fréquence d'excitation fait apparaitre des figures différentes, de plus en plus complexes, qui correspondent aux modes vibratoires de cette plaque. On peut atténuer la vibration à certains endroits en y posant un doigt, ce qui va rompre en partie le motif. Des nouvelles figures apparaissent lorsqu'on modifie les paramètres de la plaque (forme, taille, épaisseur, etc.).

Il existe une très grande variété de motifs (une infinité) selon les caractéristiques de la plaque et la manière dont on la fait vibrer. Cependant en pratique, on n'observe que 4 à 15 motifs par plaque, car au dessus d'une certaine fréquence, la plaque vibre trop peu en amplitude pour permettre le déplacement des grains, et alors aucune figure n'apparaît.

Histoire

Le phénomène d'apparition de motifs sur une plaque en vibration est repéré dès par Galilée[6]. Une quarantaine d'années plus tard, en , des expériences plus poussées sont réalisées par R. Hooke, qui met en vibration de la farine sur des plaques de verre.

Pourtant, si ces figures portent le nom de E. Chladni, c'est par la publication par ce dernier en du traité Entdeckungen über die Theorie des Klanges[7], qui popularise le phénomène dans la communauté scientifique en Europe. Chladni utilisait des plaques de métal, sur lesquelles il faisait vibrer du sable avec un archet.

En , Chladni se rend à l'académie de Paris. Il reproduit le phénomène devant les plus grands scientifiques français de l'époque, mais également devant l'empereur Napoléon Ier. Ce dernier, impressionné, organise alors un concours pour établir une modélisation mathématique du phénomène. Elle sera apportée, au bout de trois essais entre et , à la suite des rejets de l'académie, par S. Germain.

Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, par Sophie Germain en 1821.

Les figures de Chladni ont aussi été étudiées par S. D. Poisson, A. Legendre, et par de nombreux physiciens et mathématiciens modernes ou plus anciens.

Utilisations

Les figures de Chladni peuvent être utilisées en facture instrumentale pour contrôler la qualité ou l'acoustique d'un instrument.

Figures de Chladni sur le dos d'une guitare.

Cette méthode, tout de même assez rare, est surtout utilisée par des luthiers traditionnels. En mettant en vibration la pièce avant assemblage, la rupture de symétrie des motifs sur le dos de l'instrument indique les zones d'inhomogénéité. C'est une méthode qualitative ; elle peut indiquer une différence d'épaisseur à certains endroits ou une différence de masse volumique de la plaque.

Phénomène physique

Les figures de Chladni sont une visualisation directe d'ondes stationnaires dans un milieu en deux dimensions (la largeur de la plaque est négligée). Le phénomène est analogue à l'expérience de la corde de Melde.

Les ondes sont envoyées depuis un point de la plaque (archet ou vibreur de Melde) ou sur chaque point de la plaque (haut-parleur), puis vont parcourir la plaque de nombreuses fois avant de s'éteindre. Certaines zones vont plus ou moins être soumises aux vibrations ; la poudre va s'intercaler dans les zones où les vibrations sont les moins fortes, i.e. les lignes nodales (formées par les nœuds de vibration).

Le sable s'intercale au niveau des points rouges, là où l'amplitude des ondes stationnaires est minimale.

Cependant, comme pour la corde de Melde, ces figures ne sont pas toujours présentes ; elles n'apparaissent qu'à certaines fréquences : ce sont les modes propres de vibration.

Table de motifs ; on y repère différents modes propres de vibration ; deux plaques différentes amènent à deux tables différentes.

Les figures de Chladni sont l'expression physique de fonctions d'onde, solutions de l'équation des ondes en dimension trois ; plus précisément elles sont une tranche de solution, comme si la solution en 3D était sectionnée par un plan ; c'est la plaque qui joue le rôle du plan.

En physique quantique, ces ondes sont analogues aux solutions de l'équation de Schrödinger pour un atome à un électron. Schrödinger s'est d'ailleurs inspiré des équations décrivant mathématiquement les figures de Chladni pour la compréhension des orbitales atomiques[8].

Les figures de Chladni sont aussi liées au phénomène d'instabilité de Faraday.

Exemples de motifs
Figure de Chladni
Vibration

Articles connexes

Notes et références
  1. La plupart des matériaux granulaires fonctionnent ; historiquement la poudre de lycopode, mais le sel de cuisine est très efficace.
  2. Comme par exemple, le plexiglass.
  3. On utilise parfois un haut-parleur qui va faire vibrer le support dans son intégralité ; le point central devient alors un point comme les autres.
  4. Il va obéir au vibreur et suivre son mouvement, mais sera le point de référence donc immobile de ce point de vue.
  5. Cependant, pour faciliter la résolution des équations du mouvement de la plaque, on peut parfois considérer les bords comme étant fixés.
  6. Tiré de ‘’Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze’’, ici en anglais à partir de la page 100 : Dialogues Concerning Two New Sciences, "As I was scraping a brass plate with a sharp iron chisel in order to remove some spots from it and was running the chisel rather rapidly over it, I once or twice, during many strokes, heard the plate emit a rather strong and clear whistling sound ; on looking at the plate more carefully, I noticed a long row of fine streaks parallel and equidistant from one another."
  7. Découverte de la théorie des sons en allemand.
  8. (en) [vidéo] YaleCourses, 9. Chladni Figures and One-Electron Atoms sur YouTube, (consulté le )
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