Fonction exponentielle étirée

Dans certains domaines de la physique, lorsqu’apparaissent des phénomènes de décroissance apparemment de forme exponentielle double, on souhaite, pour certaines raisons théoriques, expliquer ce comportement comme la combinaison linéaire de décroissances exponentielles simples. Il faut alors déterminer la distribution du coefficient linéaire ρ(u) à affecter à chaque exponentielle de période de relaxation u. On a donc la définition implicite suivante de la distribution ρ(u) :

${\displaystyle {\rm {e}}^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }\rho (u)\,{\rm {e}}^{-t/u}~\mathrm {d} u}$

d’où l’on déduit la distribution

${\displaystyle G(u)=u\rho (u).}$

ρ peut être calculé par le développement en série[3] :

${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over {\pi u}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {k!}}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k+1}.}$

Lorsque β tend vers 1, G(u) tend vers la distribution de Dirac concentrée au point 1, correspondant à une simple exponentielle.

Figure 2. Graphiques linéaire et log-log de la fonction de distribution de l'exponentielle étirée G(u) pour des valeurs du paramètre d’étirement β comprises entre 0,1 et 0,9.

Si, selon l’acception traditionnelle, on interprète la variable t comme un temps, alors l’aire sous la courbe φ(t) correspond à la période moyenne de relaxation. On a :

${\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-\left({t/\tau }\right)^{\beta }}~\mathrm {d} t={{\tau } \over \beta }\Gamma \left({1 \over \beta }\right)}$

où Γ est la fonction gamma. Pour une décroissance exponentielle simple, on retrouve ${\displaystyle \langle \tau \rangle =\tau }$.

Les moments de la fonction exponentielle étirée sont tels que[4] :

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,{\rm {e}}^{-\left({t/\tau }\right)^{\beta }}~\mathrm {d} t={{\tau ^{n}} \over \beta }\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$

Ils sont étroitement liés aux moments de la distribution des périodes de relaxation d’une exponentielle simple :

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }t^{n}\,\rho (\tau )~\mathrm {d} \tau }$.

Pour décrire les résultats de mesures en spectroscopie ou en fragmentation inélastique, on utilise la transformée de Fourier en sinus ou en cosinus de la fonction exponentielle étirée. Celle-ci est évaluée par intégration numérique ou par développement en série entière[5].

La fonction exponentielle étirée a été introduite par le physicien Rudolf Kohlrausch pour exprimer la décharge de la bouteille de Leyde, condensateur où le diélectrique est constitué de verre. Elle fut ensuite utilisée par son fils Friedrich Kohlrausch pour décrire la relaxation de torsion. A. Werner l'utilisa en 1907 pour décrire les phénomènes de décroissance complexe de la luminescence et Theodor Förster en 1949 pour la loi de décroissance de fluorescence des donneurs énergétiques.

En dehors de la physique de la matière condensée, la fonction exponentielle étirée intervient dans la loi de décroissance des petits planétoïdes errants du système solaire.

(en) Joachim Wuttke, « Fourier Transform of the Stretched Exponential Function: Analytic Error Bounds, Double Exponential Transform, and Open-Source Implementation libkww », Algorithms, vol. 5, n^o 4,‎ 2012, p. 604-628 (DOI 10.3390/a5040604)

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