Application contractante

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante[1]^,[2], ou contraction[3], est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application $k$ -lipschitzienne avec $k < 1$ . Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Définition et exemples

Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k.

Un endomorphisme d'espace vectoriel normé dont la norme est strictement inférieure à 1 (ou une application affine associée à un tel endomorphisme) est une application contractante. L'exemple le plus simple est celui d'une homothétie de rapport λ avec |λ| < 1.

Plus généralement, l'inégalité des accroissements finis permet de montrer qu'une fonction dérivable de dérivée bornée en norme par k < 1 est contractante ; c'est par exemple le cas sur R de l'application $x\mapsto (x+\sin x)/3$ , avec k = 2/3.

Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème — Soient E un espace métrique complet (non vide) et

f

une application

k

-contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique

x *

de

f

(c'est-à-dire un

x *

dans E tel que

f (x *) = x *

). De plus, toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence

x_{n+1}=f(x_{n})

vérifie la majoration

d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1})

donc converge vers $x *$ .

La preuve classique[1]^,[3]^,[4] consiste essentiellement à montrer que pour toute suite vérifiant $x_{n+1}=f(x_{n})$ , on a $d(x_{n},x_{n+p})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1})$ .

Variante[5]

Inégalité fondamentale des contractions

Pour tout $x$ et $y$ dans E,

d(x,y)\leq {\frac {d(x,f(x))+d(y,f(y))}{1-k}}.

En effet, par inégalité triangulaire, ${\begin{aligned}d(x,y)&\leq d(x,f(x))+d(f(x),f(y))+d(f(y),y)\\&\leq d(x,f(x))+kd(x,y)+d(f(y),y).\end{aligned}}$

Unicité

Immédiate d'après l'inégalité fondamentale.

Existence

L'inégalité fondamentale entraîne aussi $d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{m},x_{m+1})}{1-k}}\leq {\frac {k^{n}+k^{m}}{1-k}}d(x_{0},x_{1}).$ On en déduit, comme dans la « preuve classique », la convergence de la suite et la majoration de l'erreur, et la fin de la preuve d'existence est identique.

Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales[6] — ou théorème du point fixe de Picard[1].

Corollaire pour une application dont une itérée est contractante

Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitz[7], ce qui dispense des précautions de la preuve usuelle[8], destinées à se placer dans une situation où l'application $f$ est contractante.

Corollaire[9]^,[10]^,[11]^,[12]^,[13] — Soient E un espace métrique complet (non vide) et $f$ une application (non nécessairement continue) de E dans E dont une itérée $f q$ est contractante (on dit que $f$ est à puissance $q$ -ième contractante). Alors $f$ possède un unique point fixe $x *$ et toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence $x n +1 = f (x n)$ converge vers $x *$ .

Remarque: Comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison k^1/q si $f q$ est k-contractante).

Approximations successives

Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successives[14] ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur.

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Remarquons que dans le théorème principal, si l'on note $k n$ la constante de Lipschitz de $f n$ , on a majoré $k n$ par $k n$ . Cette majoration est souvent très mauvaise^{[réf. nécessaire]}, ce qui explique que la majoration précédente de $d (x n, x *)$ soit souvent pessimiste. En faisant sur $f$ une hypothèse un peu plus forte que celle du corollaire ci-dessus, mais pas autant que celle du théorème, on peut aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles) : si, pour tout entier $n$ , l'application $f n$ est $k n$ -lipschitzienne et si la série de terme général $k n$ est convergente — ce qui permet d'appliquer le corollaire puisque k_q < 1 pour q assez grand — alors, en notant comme précédemment $x *$ le point fixe de $f$ et $x n = f n (x 0)$ (pour un point arbitraire x₀ de E),

\forall n\in \mathbb {N} \quad d(x_{n},x^{*})\leq \left(\sum _{i=n}^{\infty }k_{i}\right)d(x_{0},x_{1}).

Démonstration

Par les mêmes arguments qu'au début de la « preuve classique[4] », ${\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad d(x_{n},x_{n+p})&\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},x_{n+p})\\&\leq (k_{n}+k_{n+1}+\ldots +k_{n+p-1})\ d(x_{0},x_{1}),\end{aligned}}$ d'où la majoration annoncée, par passage à la limite quand p tend vers l'infini.

Applications classiques

Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème des fonctions implicites
Application à la définition de l'attracteur d'un système de fonctions itérées

Notes et références

Jean-Pierre Bourguignon, Calcul variationnel, Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique, 2008, 328 p. (ISBN 978-2-7302-1415-5, BNF 41120749, présentation en ligne), p. 7 et 27-28.
Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 93, aperçu sur Google Livres.
Alain Yger et Jacques-Arthur Weil, Mathématiques appliquées L3 : Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2009, 890 p. (ISBN 978-2-7440-7352-6, BNF 42034458, présentation en ligne), p. 141.
Une démonstration détaillée figure dans les propriétés d'un espace complet sur Wikiversité.
(en) Richard S. Palais, « A simple proof of the Banach contraction principle », Journal of Fixed Point Theory and Applications, vol. 2,‎ 2007, p. 221-223 (lire en ligne).
S. Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fund. Math., vol. 3,‎ 1922, p. 133-181 (lire en ligne), reproduit dans Travaux de Stefan Banach, p. 305-348 (thèse présentée en juin 1920 à l'université de Lviv), chap. II, § 2, Théorème 6.
(en) Philippe G. Ciarlet, Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, 2013 (lire en ligne), p. 157.
(en) A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin (trad. Leo F. Boron), Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, vol. 1, Dover Publications, 1999 (1^re éd. 1957) (lire en ligne), p. 46-49 (trad. de l'éd. en russe de 1954).
Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3 : Topologie et éléments d'analyse, Masson, 1976, p. 64, Théorème.
Ciarlet 2013, p. 154, Problem 3.7-2.
(en) D. R. Smart, Fixed Point Theorems, CUP, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics » (n^o 66), 1980 (1^re éd. 1974), 100 p. (ISBN 978-0-521-29833-9, présentation en ligne), p. 38, Theorem 5.2.1.
Kolmogorov et Fomin 1999, p. 50-51, donnent ce théorème et l'appliquent à l'équation intégrale de Volterra. Voir aussi la version très librement remaniée de leur ouvrage : (en) R. A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover, 2012 (1^re éd. 1970) (lire en ligne), p. 70 et 75-76.
Kolmogorov et Fomin 1999, p. 43.

Articles connexes

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[B-1] Jean-Pierre Bourguignon, Calcul variationnel, Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique, 2008, 328 p. (ISBN 978-2-7302-1415-5, BNF 41120749, présentation en ligne), p. 7 et 27-28.

[2] Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 93, aperçu sur Google Livres.

[YW-3] Alain Yger et Jacques-Arthur Weil, Mathématiques appliquées L3 : Cours complet avec 500 tests et exercices corrigés, Paris, Pearson, 2009, 890 p. (ISBN 978-2-7440-7352-6, BNF 42034458, présentation en ligne), p. 141.

[Wikiversité-4] Une démonstration détaillée figure dans les propriétés d'un espace complet sur Wikiversité.

[5] (en) Richard S. Palais, « A simple proof of the Banach contraction principle », Journal of Fixed Point Theory and Applications, vol. 2,‎ 2007, p. 221-223 (lire en ligne).

[6] S. Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fund. Math., vol. 3,‎ 1922, p. 133-181 (lire en ligne), reproduit dans Travaux de Stefan Banach, p. 305-348 (thèse présentée en juin 1920 à l'université de Lviv), chap. II, § 2, Théorème 6.

[7] (en) Philippe G. Ciarlet, Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications, SIAM, 2013 (lire en ligne), p. 157.

[8] (en) A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin (trad. Leo F. Boron), Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, vol. 1, Dover Publications, 1999 (1^re éd. 1957) (lire en ligne), p. 46-49 (trad. de l'éd. en russe de 1954).

[9] Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

[10] E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3 : Topologie et éléments d'analyse, Masson, 1976, p. 64, Théorème.

[11] Ciarlet 2013, p. 154, Problem 3.7-2.

[12] (en) D. R. Smart, Fixed Point Theorems, CUP, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics » (n^o 66), 1980 (1^re éd. 1974), 100 p. (ISBN 978-0-521-29833-9, présentation en ligne), p. 38, Theorem 5.2.1.

[13] Kolmogorov et Fomin 1999, p. 50-51, donnent ce théorème et l'appliquent à l'équation intégrale de Volterra. Voir aussi la version très librement remaniée de leur ouvrage : (en) R. A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover, 2012 (1^re éd. 1970) (lire en ligne), p. 70 et 75-76.

[14] Kolmogorov et Fomin 1999, p. 43.