Fonction d'Euler
En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par
Ne doit pas être confondu avec Fonction phi d'Euler.
Cet article concerne la fonction d'Euler. Pour d'autres objets ou résultats attribués à Euler, voir Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler.
Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer :
Propriétés
Le coefficient du développement en série formelle de est le nombre de partitions de l'entier . Formellement,
- .
L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité
Dans cette somme, les nombres sont les nombres pentagonaux généralisés.
La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe de partie imaginaire positive, on définit (c'est le carré du nome (en)), et la fonction êta est
- .
Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :
Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :
qui est une série de Lambert avec coefficients . Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :
- avec .
Références
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 340 p. (ISBN 0-387-90163-9, lire en ligne)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler function » (voir la liste des auteurs).
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