Fonction d'Euler

En mathématiques, la fonction d'Euler est donnée par

Module de dans le plan complexe, coloré de sorte que noir=0, rouge=4.

Ne doit pas être confondu avec Fonction phi d'Euler.

Cet article concerne la fonction d'Euler. Pour d'autres objets ou résultats attribués à Euler, voir Liste des sujets nommés d'après Leonhard Euler.

Elle est nommée d'après Leonhard Euler, et elle constitue un exemple type du q-analogue d'une série. C'est une forme modulaire, et elle fournit un exemple typique d'interaction entre combinatoire et analyse complexe. On peut écrire la définition de comme produit infini de façon compacte grâce au symbole de Pochhammer :

Propriétés

Le coefficient du développement en série formelle de est le nombre de partitions de l'entier . Formellement,

.

L'identité d'Euler, aussi appelé le théorème des nombres pentagonaux, est l'identité

Dans cette somme, les nombres sont les nombres pentagonaux généralisés.

La fonction d'Euler est liée à la fonction êta de Dedekind. Pour tout nombre complexe de partie imaginaire positive, on définit (c'est le carré du nome (en)), et la fonction êta est

.

Les deux fonctions possèdent les symétries du groupe modulaire. La fonction d'Euler s'exprime aussi simplement à l'aide du q-symbole de Pochhammer :

Le logarithme de la fonction d'Euler est la somme des logarithmes des facteurs du produit ; chacun peut être développé autour de q = 0, ce qui donne :

qui est une série de Lambert avec coefficients . Le logarithme de la fonction d'Euler s'exprime donc par :

avec .

La suite des est la suite A000203 de l'OEIS.

Références

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