Fonction de Clausen
En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en), est définie par l'intégrale suivante :
- .
Plus généralement, on définit, pour Re(s) > 1 :
- .
Propriétés
- Les fonctions de Clausen sont impaires et 2π-périodiques, donc nulles sur πℤ.
- .
- La fonction Cln pour n ∈ ℕ* est reliée au polylogarithme Lin par :
- ;
- .
- Pour tout entier m ≥ 2, .
-
- pour 0 ≤ θ ≤ 2π, où ζ est la fonction zêta de Riemann[1].
Accélération du calcul de la série
Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
- ,
pour |θ| < 2π.
Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
- .
La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle[2].
Valeurs particulières
où K est la constante de Catalan. Plus généralement :
où β est la fonction bêta de Dirichlet.
La valeur maximale de Cl2 est la constante de Gieseking (de)[3],[4] :
- .
Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante[5],[6] :
Références
- (en) Leonard Lewin, Structural Properties of Polylogarithms, [détail de l’édition], p. 8.
- (en) Jonathan M. Borwein, David M. Bradley et Richard E. Crandall, « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », J. Comput. App. Math., vol. 121, nos 1-2, , p. 247-296 (DOI 10.1016/S0377-0427(00)00336-8).
- (en) Eric W. Weisstein, « Gieseking's Constant », sur MathWorld.
- Apparaît sous le nom de « constante de Lobachevsky » dans (en) Steven Finch, « Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds », sur Université Harvard, , p. 4.
- Finch 2004, p. 3-4.
- (en) Jonathan Borwein et David Bailey, Mathematics by Experiment : Plausible Reasoning in the 21st Century, A K Peters (en), , 393 p. (ISBN 978-1-56881-442-1, lire en ligne), p. 56.
- Pour de nombreuses autres expressions de V, voir (en) Eric W. Weisstein, « Figure Eight Knot », sur MathWorld.
Voir aussi
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), 27.8
- (en) Eric W. Weisstein, « Clausen Function », sur MathWorld
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