Fonction thêta
En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espaces de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.
Pour les articles homonymes, voir Fonction thêta (homonymie) (en).
Les fonctions thêtas les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leurs variables (traditionnellement z) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).
Fonction thêta de Jacobi
La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série
qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et τ le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.
Cette fonction est périodique en la variable z, de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :
Cela se vérifie directement, car à τ fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.
La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par τ et satisfait l'équation fonctionnelle
où a et b sont des entiers.
Fonctions auxiliaires
Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire
Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome q = exp(πτ) plutôt que τ, et thêta appelé θ3, ϑ01 nommé θ0, ϑ10 nommé θ2 et ϑ11 appelé –θ1.
Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes ; en particulier l'identité de Jacobi est
laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.
Identités de Jacobi
Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit
Alors[1]
Représentations de produits
La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :
Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec q = exp(iπτ) :
Représentations intégrales
Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :
Relation avec la fonction zêta de Riemann
Notons qu'en utilisant la formule sommatoire de Poisson et que e–x2/2 est sa propre transformée de Fourier on obtient
Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale
dont on peut montrer qu'elle est invariante par substitution de s par 1 – s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.
Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass
La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et il aurait pu l'utiliser pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque
où la constante c est définie comme le développement de Laurent de à z = 0 ne possédant aucun terme constant.
Comme solution de l'équation de la chaleur
La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z = x réel, et en prenant τ = it avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire
qui résout l'équation de la chaleur
Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t = 0, la fonction thêta devient le peigne de Dirac :
où δ est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t = 0 avec la fonction thêta.
Relation avec le groupe de Heisenberg
La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta (en). Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de τ. Alors, définissons les opérateurs Sa et Tb tels que
et
Notons que
et
mais S et T ne commutent pas :
Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par où U(1) est le groupe unitaire. Un élément de groupe général U (λ, a, b) ∈ H alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme
où λ ∈ U(1). Notons que U(1) = Z(H) est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H, H].
Définissons le sous-groupe Γ ⊂ H comme
Alors, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous Γ, et l'on peut montrer que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.
La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour τ et définissons une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme
Soit l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que est un espace hilbertien, que est unitaire sur , et que est irréductible sous cette action. Alors et L2(R) sont isomorphes comme H-modules (en), où H agit sur comme
pour et .
Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann (en) pour plus de développements sur ces idées.
Généralisations
Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est
avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers ℤn. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,
les nombres RF(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.
Fonction thêta de Riemann
Soit
l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive ; , appelé le demi-espace de Siegel (en), est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2n, Z) ; pour n = 1, Sp(2, Z) = SL(2, Z). L'analogue (n – 1)-dimensionnel des sous-groupes de congruence (en) est .
Alors, étant donné , la fonction thêta de Riemann est définie par
Ici, est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n = 1 et où est le demi-plan de Poincaré.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions : With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, , 1046 p. (ISBN 978-0-486-61272-0, lire en ligne), section 16.27ff.
- (en) Naum Achiezer (de), Elements of the Theory of Elliptic Functions, Moscou, , traduit en anglais dans AMS Translations of Mathematical Monographs, vol. 79, 1990 (ISBN 978-0-8218-4532-5)
- (en) Richard Bellman, A Brief Introduction to Theta Functions, Dover, (lire en ligne)
- (en) David Mumford, Tata Lectures on Theta I, Boston, Birkhäuser, (ISBN 978-3-7643-3109-2)
- (en) James Pierpont, Functions of a Complex Variable, Dover
Notes et références
- Voir aussi : (en) « Proof of Jacobi's identity for functions », sur PlanetMath.
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