Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la $k$ -ième fonction totient de Jordan $J k$ — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier $n > 0$ associe le nombre de $k$ -uplets d'entiers compris entre 1 et $n$ qui, joints à $n$ , forment un $k + 1$ -uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est $J 1$ .

Calcul

La fonction $J k$ est multiplicative et vaut

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right),

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers $p$ de $n$ .

On peut définir plus généralement $J k$ pour tout réel $k$ non nul et même pour « presque » tout complexe $k$ , par la même formule[1].

Propriétés

La formule

\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}

se réécrit[2] en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante $1 (n) = 1$ et de la fonction puissance $Id k (n) = n k$

J_{k}*{\mathbf {1} }={\rm {Id}}_{k}

ou encore, par inversion de Möbius

J_{k}=\mu *{\rm {Id}}_{k}

ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour $J k$ .

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative[3] — or $Id k$ et l'inverse $1$ de $μ$ sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de $J k$ à tout nombre complexe $k$ : par exemple $J 0 = δ 1$ ^{[réf. souhaitée]}.

Fonction totient et séries de Dirichlet

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius $μ$ est $1/ ζ(s)$ et celle de $Id k$ est $ζ(s - k)$ , on en déduit celle de $J k$ :

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}.

Un ordre moyen de $J k (n)$ est ${\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}.$

La fonction psi de Dedekind (en) est

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}.

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives $J k / J 1$ et $J 2 k / J k$ , sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer[4] :

\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n).

Ordres de groupes de matrices

L'ordre du groupe linéaire $GL(m, ℤ/ n ℤ)$ est[5]

|{\rm {GL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).

Celui du groupe spécial linéaire $SL(m, ℤ/ n ℤ)$ est

|{\rm {SL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).

Celui du groupe symplectique $Sp(2 m, ℤ/ n ℤ)$ est

|{\rm {Sp}}(2m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples

L'OEIS donne des listes explicites pour $J 2$ ( A007434), $J 3$ ( A059376), $J 4$ ( A059377), $J 5$ ( A059378) et $J 6$ à $J 10$ ( A069091 à A069095).

Des quotients par $J 1$ sont $J 2 / J 1$ ( A001615), $J 3 / J 1$ ( A160889), $J 4 / J 1$ ( A160891), $J 5 / J 1$ ( A160893), $J 6 / J 1$ ( A160895), $J 7 / J 1$ ( A160897), $J 8 / J 1$ ( A160908), $J 9 / J 1$ ( A160953), $J 10 / J 1$ ( A160957) et $J 11 / J 1$ ( A160960).

Des exemples de quotients $J 2 k / J k$ sont $J 4 / J 2$ ( A065958), $J 6 / J 3$ ( A065959) et $J 8 / J 4$ ( A065960).

Notes et références

Voir Somme de Ramanujan, § φ(n) (sous réserve que $k$ ne soit ni nul, ni de la forme $i2π m /log p$ pour un entier non nul $m$ et un nombre premier $p$ , qui sont alors uniques).
(en) Jozsef Sándor et Borislav Crstici, Handbook of number theory II, Kluwer Academic, 2004, 637 p. (ISBN 978-1-4020-2546-4, lire en ligne), p. 106.
(en) Anthony A. Gioia, The Theory of Numbers : An Introduction, Dover, 2001, 207 p. (ISBN 978-0-486-41449-2, lire en ligne), p. 29
(en) Matthew Holden, Michael Orrison et Michael Varble, « Yet another Generalization of Euler's Totient Function ».
Toutes ces formules sont extraites de (en) Dorin Andrica et Mihai Piticari, « On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions », Acta Universitatis Apulensis, vol. 7,‎ 2004 (lire en ligne).

(en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, 1971, Chelsea Publishing (ISBN 978-0-8284-0086-2), p. 147
(en) M. Ram Murty (en), Problems in Analytic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 206), 2001, 452 p. (ISBN 978-0-387-95143-0, lire en ligne), p. 11
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan's totient function » (voir la liste des auteurs).

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Voir Somme de Ramanujan, § φ(n) (sous réserve que $k$ ne soit ni nul, ni de la forme $i2π m /log p$ pour un entier non nul $m$ et un nombre premier $p$ , qui sont alors uniques).

[2] (en) Jozsef Sándor et Borislav Crstici, Handbook of number theory II, Kluwer Academic, 2004, 637 p. (ISBN 978-1-4020-2546-4, lire en ligne), p. 106.

[3] (en) Anthony A. Gioia, The Theory of Numbers : An Introduction, Dover, 2001, 207 p. (ISBN 978-0-486-41449-2, lire en ligne), p. 29

[4] (en) Matthew Holden, Michael Orrison et Michael Varble, « Yet another Generalization of Euler's Totient Function ».

[5] Toutes ces formules sont extraites de (en) Dorin Andrica et Mihai Piticari, « On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions », Acta Universitatis Apulensis, vol. 7,‎ 2004 (lire en ligne).