Fonction propre

En théorie spectrale, une fonction propre f d'un opérateur linéaire ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sur un espace fonctionnel est un vecteur propre de l'opérateur linéaire. En d’autres termes, une fonction propre d'un opérateur linéaire, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, défini sur un certain espace de fonction, est toute fonction f non identiquement nulle sur cet espace qui, lorsqu’elle se voit appliquer cet opérateur en ressort exactement pareille à elle-même, à un facteur d'échelle multiplicatif près. Cette fonction satisfait donc :

${\displaystyle {\mathcal {A}}f=\lambda f}$

pour un scalaire λ, la valeur propre associée à f. L'existence de vecteurs propres est typiquement de grand secours pour analyser ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Par exemple, pour tout réel ${\displaystyle \ \alpha }$, ${\displaystyle f_{\alpha }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto e^{\alpha x}}$ est une fonction propre pour l'opérateur différentiel

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}},}$

avec comme valeur propre correspondante ${\displaystyle \ \lambda =\alpha ^{2}-\alpha }$.

En topologie, une fonction propre est une fonction par laquelle l'image réciproque d'un ensemble compact est compacte (voir Application propre).