Formalisation (mathématiques)

Le langage formel a pour avantage de rendre aisées la manipulation et la transformation d'énoncés. Des règles de transformation précises (développement de formules logiques, formes normales, contrapositions, commutativité, associativité, etc.) peuvent être appliquées sans même connaître la signification de l'énoncé transformé ou la signification de la transformation. C'est un outil d'exploration puissant, et c'est le seul langage qui permette aux machines de « faire des mathématiques ».

L'inconvénient est évident : ne pas connaître le sens de l'énoncé empêche de savoir quelles sont les transformations pertinentes et nuit à l'intuition du raisonnement. Ainsi, il est bon de savoir lire rapidement un énoncé en langage formel et de le traduire tout aussi rapidement en un ou plusieurs énoncés du langage naturel, plus significatif.

Dès le début de l'informatique, les chercheurs ont développé des outils d'aide à la traduction des langages, afin de passer du format externe au format interne de l'ordinateur. Les outils les plus connus sont Lex et Yacc. D'autres chercheurs ont défini la sémantique des langages de programmation.

Les mathématiques existent depuis l'Antiquité mais la manière de les exprimer a énormément évolué.

Comme pour toute discipline, le langage de la discipline ne préexiste pas à la discipline elle-même. Il a donc fallu utiliser des langues qui n'ont pas été construites pour les mathématiques, qui peu à peu se sont enrichies d'un jargon spécifique.

Ainsi, bien des énoncés mathématiques anciens nous paraissent aujourd'hui avoir une formulation plutôt alambiquée, surchargée de périphrases quand il n'existe pas de mots pour désigner certains concepts.

Le jargon s'est donc enrichi au cours des siècles et continue encore d'évoluer.

Parallèlement à ce phénomène, s'est progressivement formé le langage formel qui est devenu celui que nous connaissons, le langage naturel ne s'étant montré ni assez précis ni assez concis.

Leibniz fut l'un des premiers à imaginer construire un langage formel, sous le nom de caractéristique universelle, qui pourrait permettre de réduire toutes les obscurités et équivocités du langage naturel. Un projet d'éclaircissement du langage naturel avait déjà été formulé par Hobbes et Locke, mais Leibniz l'a porté à un niveau d'universalité inédit. Bien qu'il échouât dans ce projet, celui-ci fut repris, et a été l'un des objectifs principaux du Cercle de Vienne, au début du XX^e siècle.

Au début du XX^e siècle, le mathématicien David Hilbert, et avec lui, les formalistes pensaient pouvoir unifier les mathématiques grâce à une axiomatisation générale et à l'usage d'un langage formel commun.

Cette vision des mathématiques fut mise à mal en 1931 lorsque le logicien Kurt Gödel annonça son célèbre théorème d'incomplétude qui démontre que dans tout système formel contenant l'arithmétique, il existe au moins une proposition indécidable.

Pour revenir aux langages formels, la conséquence de ce théorème est la suivante : étant donné un langage formel, ses axiomes, et son système de déduction formel capables d'exprimer l'arithmétique, on peut énoncer une proposition de ce langage qui ne peut pas être prouvée dans ce système, mais dont la négation non plus ne peut l'être. On aura beau formaliser les mathématiques, on trouvera toujours un énoncé formel dont la démonstration oblige à quitter ou élargir ce formalisme en ajoutant de nouveaux axiomes, ce qui introduira immanquablement de nouveaux énoncés indécidables. Ainsi l'approche formaliste, qui reste pourtant valable, a désormais des limites connues.

Dans la seconde moitié du XX^e siècle, l'avènement des ordinateurs et de l'informatique a donné une place particulière aux langages formels en tant qu'outils et en tant qu'objets d'étude, ce qui était relativement nouveau.

Les traités de mathématiques utilisent à la fois langage formel et langage naturel. Le langage formel est réservé aux passages techniques et aux énoncés suffisamment simples pour ne pas nécessiter d'amples explications, et les résultats importants sont souvent explicités à la fois en langage formel et naturel.

Le langage formel mathématique contemporain est décrit dans l'article « Notation (mathématiques) ».