Formalisme ADM

Le formalisme ADM[2] est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner. Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la relativité numérique (en)[3].

Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles Misner lors de l'événement ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation (2009), célébrant le cinquantième anniversaire de leur publication[1].

Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Gravitation: An introduction to current research (1962)[4]. Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue General Relativity and Gravitation (en)[5].

Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au 9 novembre 2009 à la Texas A&M University[6].

Formalisme

Le formalisme ADM est une formulation hamiltonienne de la relativité générale[7]. Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille de surfaces de genre espace $\Sigma _{t}$ , marquées par un temps $t$ , et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par $x^{i}$ .

La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperbolique[8].

Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D $\gamma _{ij}(t,x^{k})$ ainsi que leur moment conjugué $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ . Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.

Le formalisme fait intervenir trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ [9]^,[N 1] des coordonnées $\left\{t,x^{i}\right\}$ [9] :

$\alpha$ est la fonction lapse[9]. Elle mesure le temps propre entre les coupes voisines[9]^,[N 2] ;
$\beta ^{i}$ est le vecteur shift[9]. Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantes[N 3] ;
$\gamma _{ij}$ est la métrique à trois dimensions[9]^,[N 4]. Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante $t=\mathrm {d} x^{0}$ [9]^,[N 5].

Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suit[9] :

\mathrm {d} s^{2}=\left(-\alpha ^{2}+\beta _{i}\beta ^{i}\right)\mathrm {d} t^{2}+2\beta _{i}\mathrm {d} t\mathrm {d} x^{i}+\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}

.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « ADM formalism » (voir la liste des auteurs).

Notes

Les trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ sont aussi notées $\left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}$ [8].
Autrement dit, $\alpha$ mesure la différence entre le temps-coordonnée $t$ et le temps propre $\tau$ sur des courbes normales aux hypersurfaces $\Sigma _{t}$ [8].
Autrement dit, $\beta ^{i}$ mesure la différence entre un point $P$ de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre $P$ d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale $n$ [8].
$\gamma _{ij}$ est aussi connue comme la « métrique intrinsèque »[8] ou comme la « première forme fondamentale »[8].
Autrement dit, $\gamma _{ij}$ est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions $g_{\mu \nu }$ [8].

Références

(en) « A Celebration of Current GR Innovation »
Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne), chap. 10, p. 380
(en) Arnowitt R., Deser S. et Misner C., « Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity », Physical Review, vol. 116, n^o 5,‎ 1959, p. 1322–1330 (DOI 10.1103/PhysRev.116.1322, Bibcode 1959PhRv..116.1322A)
(en) Collectif d'auteur, Gravitation : An introduction to current research, New York, Louis Witten, Wiley, 1962 (présentation en ligne), chap. 7, p. 227–265
(en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation, vol. 40, n^o 9,‎ 2008, p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1, Bibcode 2008GReGr..40.1997A, arXiv gr-qc/0405109)
(en) « ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation », sur http://adm-50.physics.tamu.edu, 2009
Vargas Moniz 2008, sect. 2, p. 709.
Vargas Moniz 2008, sect. 2, § 2.1, p. 709.
Hawke 2015, part. V, chap. V.15, sect. 2, § 2.1, p. 681, col. 1.

Bibliographie

[Hawke 2015] (en) Ian Hawke, « Numerical relativity », dans Nicholas J. Higham (éd.), The Princeton companion to applied mathematics, Princeton et Oxford, Princeton University Press, septembre 2015, 1^re éd., XVII-994 p., 26 cm (ISBN 978-0-691-15039-0, EAN 9780691150390, OCLC 923003755, DOI 10.1515/9781400874477, SUDOC 190115718, présentation en ligne, lire en ligne), part. V, chap. V.15, p. 680-687.
[Vargas Moniz 2008] (en) Paulo Vargas Moniz, « Quantum cosmology standpoint », dans Hagen Kleinert, Robert T. Jantzen et Remo Ruffini (éd.), The eleventh Marcel Grossmann meeting on recent developments in theoretical and experimental general relativity, gravitation and relativistic field theories, t. 1^er : Part A, Singapour, Hackensack et Londres, World Scientific, septembre 2008, 1^re éd., LXV-974 p., 26 cm (ISBN 978-981-283-426-3 et 978-981-283427-0, OCLC 494248658, BNF 41318694, DOI 10.1142/6997, SUDOC 131407724, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 32, p. 708-725 (DOI 10.1142/9789812834300_0032, résumé).

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[10] Les trois fonctions $\left\{\alpha ,\beta ^{i},\gamma _{ij}\right\}$ sont aussi notées $\left\{N,N^{i},h_{ij}\right\}$ [8].

[11] Autrement dit, $\alpha$ mesure la différence entre le temps-coordonnée $t$ et le temps propre $\tau$ sur des courbes normales aux hypersurfaces $\Sigma _{t}$ [8].

[12] Autrement dit, $\beta ^{i}$ mesure la différence entre un point $P$ de l'espace et le point qu'on atteindrait si, au lieu de suivre $P$ d'une hypersurface à la suivante, on suivait une courbe tangente à la normale $n$ [8].

[13] $\gamma _{ij}$ est aussi connue comme la « métrique intrinsèque »[8] ou comme la « première forme fondamentale »[8].

[14] Autrement dit, $\gamma _{ij}$ est la métrique induite, sur les hypersurfaces d'espace, par la métrique complète à quatre dimensions $g_{\mu \nu }$ [8].

[1] (en) « A Celebration of Current GR Innovation »

[2] Christian Wüthrich (trad. Soazig Le Biha), À la recherche de l’espace-temps perdu : questions philosophiques concernant la gravité quantique (lire en ligne), chap. 10, p. 380

[ADM-3] (en) Arnowitt R., Deser S. et Misner C., « Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity », Physical Review, vol. 116, n^o 5,‎ 1959, p. 1322–1330 (DOI 10.1103/PhysRev.116.1322, Bibcode 1959PhRv..116.1322A)

[4] (en) Collectif d'auteur, Gravitation : An introduction to current research, New York, Louis Witten, Wiley, 1962 (présentation en ligne), chap. 7, p. 227–265

[5] (en) R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner, « Republication of: The dynamics of general relativity », General Relativity and Gravitation, vol. 40, n^o 9,‎ 2008, p. 1997–2027 (DOI 10.1007/s10714-008-0661-1, Bibcode 2008GReGr..40.1997A, arXiv gr-qc/0405109)

[6] (en) « ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation », sur http://adm-50.physics.tamu.edu, 2009

[Vargas_Moniz2008709<span_class="nowrap">sect._2</span>-7] Vargas Moniz 2008, sect. 2, p. 709.

[Vargas_Moniz2008709<span_class="nowrap">sect._2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-8] Vargas Moniz 2008, sect. 2, § 2.1, p. 709.

[Hawke2015681,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span><span_class="nowrap">part._<abbr_class="abbr_"_title="5"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">V</span></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;V.15</span>,_<span_class="nowrap">sect._2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-9] Hawke 2015, part. V, chap. V.15, sect. 2, § 2.1, p. 681, col. 1.