Forme antisymétrique

Une forme antisymétrique de degré ${\displaystyle n}$ sur un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ est une application ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle E^{n}}$ dans son corps de scalaires qui est linéaire en chacune des variables et qui satisfait la relation suivante :

${\displaystyle \forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n}\quad \forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2}\quad 1\leq i<j\leq n\Rightarrow \quad f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}$.

• Une forme bilinéaire ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle E}$ est dite antisymétrique si :

  ${\displaystyle \forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)}$.

• Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
• Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.

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