Détermination de la base des cumulus

La FAA propose une formule qui sous-estime la hauteur des cumulus de l'ordre de 5%. Cette formule est la suivante[5] :

${\displaystyle b=k\times (T-D)}$ où k = 400 pieds / ⁰C;

T est la température au sol et D est le point de rosée.

Une formule plus précise (formule de Hennig) est la suivante[6]^,[7] :

${\displaystyle b=a\times (T-D)}$ où a = 0,125 km / ⁰C;

Le calcul du coefficient k (ou a) peut être effectué rigoureusement en appliquant les lois de la thermodynamique et en supposant que la bulle d'air ne se mélange pas avec l'air extérieur. On notera que le coefficient k varie de quelques pourcents en fonction de la température au sol.

Émagramme (voir la discussion ci-dessous) qui montre que T soulevé le long de l'adiabatique sèche et à rapport de mélange constant nous permet de trouver le niveau de condensation par convection et donc la hauteur de la base d'un cumulus

On suppose que la parcelle d'air ne se mélange pas avec l'air extérieur. On définit le rapport de mélange r(z) comme le rapport de la pression partielle de vapeur d'eau ${\displaystyle p_{H_{2}O}}$ sur la pression atmosphérique totale. Soit z l'altitude. On a donc

${\displaystyle r(z)={p_{H_{2}O}(T) \over p_{a}(z)}}$

Le point de rosée est défini par la température D telle que

${\displaystyle p_{H_{2}O}(T)=p_{s}(D)}$

où ${\displaystyle p_{s}(D)}$ est la pression de vapeur saturante.

On différencie et donc:

${\displaystyle {dp_{H_{2}O}(T) \over dz}dz={dp_{s}(D) \over dD}dD\qquad (1)}$

On élève la parcelle de l'altitude z à l'altitude z + d z.

On a donc:

${\displaystyle r(z+dz)={p_{H_{2}O}(z+dz) \over p_{a}(z+dz)}}$

Comme il n'y a pas de mélange, on a r(z+ dz) = r(z). Donc,

${\displaystyle {p_{H_{2}O}(z+dz) \over p_{a}(z+dz)}={p_{H_{2}O}(z) \over p_{a}(z)}}$

Donc,

${\displaystyle \left(p_{H_{2}O}(z)+{dp_{H_{2}O}(z) \over dz}dz)\right)p_{a}(z)=p_{H_{2}O}(z)\left(p_{a}(z)+{dp_{a} \over dz}dz\right)}$

Donc,

${\displaystyle {dp_{H_{2}O}(z) \over dz}={p_{H_{2}O}(z) \over p_{a}(z)}\times {dp_{a} \over dz}}$

Dans l'article pression atmosphérique, il est démontré que ${\displaystyle {dp_{a} \over dz}=-\rho g}$ où ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique de l'air. Donc,

${\displaystyle {dp_{H_{2}O}(z) \over dz}=-\rho g{p_{H_{2}O}(z) \over p_{a}(z)}}$

On substitue dans (1) et donc :

${\displaystyle -\rho g{p_{H_{2}O}(z) \over p_{a}(z)}dz={dp_{s}(D) \over dD}dD\qquad (2)}$

La pression de vapeur saturante de l'eau peut s'exprimer à partir de la formule de Clapeyron comme suit[8] :

${\displaystyle P=p_{0}\exp \left[{L \over R/M}\left({1 \over T_{0}}-{1 \over T}\right)\right]}$

On considère la pression de référence p₀ = 1013.15 hPa et la température de référence T₀ = 373.15 K. ${\displaystyle L=2.470\times 10^{6}}$ est la chaleur latente de vaporisation (à 20 C), R = 8.3144621 J /mol /K est la constante universelle des gaz parfaits, M = 0.01801 kg/mol est la masse molaire de l'eau, T₀ = 273.15 K et T est la température de l'atmosphère.

La pression de vapeur saturante de l'eau (en) ${\displaystyle p_{s}(D)}$ est aussi donnée par la formule de Rankine[9] (qui diffère légèrement) :

${\displaystyle p_{s}(D)=\exp(13.7-5120/D)\,}$

On peut donc écrire

${\displaystyle p_{s}(D)={\hat {p}}e^{-{{\hat {D}} \over D}}}$

avec ${\displaystyle {\hat {D}}={LM \over R}=5350K}$.

Dans la formule de Rankine, on a ${\displaystyle {\hat {D}}=5120}$ ce qui n'est pas applicable en l'espèce car on a en général ${\displaystyle D\approx 300}$

On obtient donc:

${\displaystyle {dp_{s}(D) \over dD}={{\hat {D}} \over D^{2}}{\hat {p}}e^{-{{\hat {D}} \over D}}={{\hat {D}} \over D^{2}}p_{s}}$

On substitue dans l'équation (2) et donc :

${\displaystyle -\rho g{p_{H_{2}O}(z) \over p_{a}(z)}dz={{\hat {D}} \over D^{2}}p_{s}dD\qquad (2)}$

Donc,

${\displaystyle {dD \over dz}=-\rho g{p_{H_{2}O}(z) \over p_{s}(D)p_{a}(z)}\times {D^{2} \over {\hat {D}}}}$

On simplifie un peu et on suppose que ${\displaystyle p_{H_{2}O}(T)\approx p_{s}(D)}$. On obtient alors:

${\displaystyle {dD \over dz}=-\rho g{1 \over p_{a}(z)}\times {D^{2} \over {\hat {D}}}}$

On a vu que ${\displaystyle {\hat {D}}=5350K}$, ${\displaystyle p_{a}=1.01\times 10^{5}Pa}$, ${\displaystyle \rho g=11.77Pa/m}$. Donc, pour D = 300 K, on obtient

${\displaystyle {dD \over dz}=-{300\times 300 \over 5350}\times {11.77 \over 1.01\times 10^{5}}=-1.86\times 10^{-3}K/m}$

L'expression ci-dessus donne le gradient du point de rosée dans une parcelle en ascension en fonction de l'altitude.

Le gradient adiabatique sec est ${\displaystyle {dT \over dz}=-{g \over C_{p}}=-{9.81 \over 1006}=-0.00975K/m}$.

On obtient donc:

${\displaystyle {d(T-D) \over dz}=-0.00186+0.00975}$

Donc en mètres, ${\displaystyle z=127\times (T-D)}$. Ces conditions correspondent à une journée typique de vol à voile où T = 27 ⁰C. Aux conditions standard de température et de pression, on a ${\displaystyle dD/dz=0.00174}$ et le facteur 127 est remplacé par 125. On retrouve exactement le coefficient proposé par Stull[6].

Par conséquent, pour une température de 27 ⁰C et un point de rosée de 12 ⁰C la base des nuages sera à 15 × 127 = 1 905 m. La formule approchée ci-dessus donnait une base de nuages à 6 000 pieds (i.e. 1 800 mètres).

• (en) M. K. Yau et R. R. Rogers, Short Course in Cloud Physics, Butterworth-Heinemann, 1^er janvier 1989, 3^e éd. (ISBN 0-7506-3215-1, EAN 9780750632157), p. 39
• [Meteorology for Scientists and Engineers] (en) Roland B. Stull, Meteorology for Scientists and Engineers Second Edition, Brooks/Cole, 2000, 502 p. (ISBN 978-0-534-37214-9)

• Thermodynamique avancée Cours 11 : La stabilité verticale : Stabilité latente ou convective, UQAM (lire en ligne [PDF])

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