Formule de Wald

Formule de Wald — On suppose que :

• ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes,
• les ${\displaystyle X_{i}\ }$ et ${\displaystyle N\ }$ sont intégrables ,

et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :

• ${\displaystyle N\ }$ est un temps d'arrêt adapté à la suite ${\displaystyle (X_{i})\ }$. En d'autres termes l'événement ${\displaystyle \left\{N=n\right\}\ }$ est entièrement déterminé par ${\displaystyle (X_{1},X_{2},...,X_{n}),}$

ou bien :

• ${\displaystyle N\ }$ est indépendant de la suite ${\displaystyle (X_{i})\ }$.

Alors on a :

${\displaystyle \mathbb {E} \left[S_{N}\right]=\mathbb {E} \left[N\right]\mathbb {E} \left[X_{1}\right].}$

Et si on note :

• ${\displaystyle G_{S_{N}}}$ la fonction génératrice de ${\displaystyle {S_{N}}}$.
• ${\displaystyle G_{N}}$ la fonction génératrice de ${\displaystyle N}$.
• ${\displaystyle G_{X}}$ la fonction génératrice des ${\displaystyle X_{i}}$.

On a aussi :

${\displaystyle G_{S_{N}}=G_{N}\circ G_{X}}$

Hypothèse — Il existe une filtration ${\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geq 0}}$ telle que :

• ${\displaystyle N\ }$ est un temps d'arrêt adapté à la filtration ${\displaystyle {\mathcal {F}}\ }$ ;
• la suite ${\displaystyle (X_{n})\ }$ est adaptée à la filtration ${\displaystyle {\mathcal {F}}\ }$ ;
• pour tout ${\displaystyle n\geq 0\ }$ la tribu ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\ }$ et la variable ${\displaystyle X_{n+1}\ }$ sont indépendants.