Formule d'Euler

La formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit, pour tout nombre réel $x$ ,

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x

Formule d'Euler

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )

et se généralise aux $x$ complexes.

Ici, le nombre $e$ est la base des logarithmes naturels, $i$ est l'unité imaginaire, $sin$ et $cos$ sont des fonctions trigonométriques.

Description

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction $x \mapsto e i x$ , appelée fonction cis[1], décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque $x$ varie dans l'ensemble des nombres réels.
$x$ représente la mesure (en radians) de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si $sin$ et $cos$ ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est fondée sur les développements en série entière de la fonction exponentielle $z \mapsto e z$ de la variable complexe $z$ et des fonctions $sin$ et $cos$ considérées à variables réelles.
En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes $x$ .

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Selon Richard Feynman, c'est « l'une des formules les plus remarquables […] de toutes les mathématiques[2]. » Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

{\rm {e}}^{a+b}={\rm {e}}^{a}{\rm {e}}^{b}

et

({\rm {e}}^{a})^{k}={\rm {e}}^{ak}

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes $a, b$ et pour tout entier $k$ ), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme combinaisons linéaires de fonctions exponentielles :

\cos(x)=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}

\sin(x)=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\mathrm {i} \,}}

Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) constituent la définition moderne des fonctions $\cos$ et $\sin$ (y compris lorsque $x$ est une variable complexe)[3] et sont équivalentes[4] à la formule d'Euler (appliquée à $x$ et à $- x$ ), qui devient alors une tautologie.

Dans les équations différentielles, la fonction $x \mapsto e i x$ , est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations

Par les séries de Taylor

Animation de la démonstration par les séries de Taylor.

Le développement en série de la fonction $exp$ de la variable réelle $t$ peut s'écrire :

{\mathrm {e} }^{t}={\frac {t^{0}}{0\,!}}+{\frac {t^{1}}{1\,!}}+{\frac {t^{2}}{2\,!}}+{\frac {t^{3}}{3\,!}}+{\frac {t^{4}}{4\,!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n\,!}}

et s'étend à tout nombre complexe $t$ : le développement en série de Taylor reste absolument convergent et définit l'exponentielle complexe.

En particulier pour $t = i x$ avec $x$ réel :

{\mathrm {e} }^{{\mathrm {i} \,}x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{({\mathrm {i} \,}x)}^{n}}{n\,!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\mathrm {i} \,}^{n}x^{n}}{n\,!}}\cdot

Cette série, séparée en deux, devient, en utilisant le fait que $\mathrm {i} \,^{2k}=(\mathrm {i} \,^{2})^{k}=(-1)^{k}$ :

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {i} \,^{2k}x^{2k}}{(2k)\,!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {i} \,^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)\,!}}+\mathrm {i} \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}\cdot

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus[5] :

\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2\,!}}+{\frac {x^{4}}{4\,!}}-{\frac {x^{6}}{6\,!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)\,!}}

\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3\,!}}+{\frac {x^{5}}{5\,!}}-{\frac {x^{7}}{7\,!}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)\,!}}

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de $e i x$ , donne bien :

\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos(x)+\mathrm {i} \,\sin(x).

Par le calcul différentiel

Pour tout nombre complexe $k$ , la seule application $f$ : ℝ → ℂ vérifiant $f ' = kf$ et $f (0) = 1$ est l'application $x \mapsto exp(kx)$ (la démonstration est identique à celle pour $k$ réel, donnée dans l'article détaillé).

L'application $f$ définie par $f(x)=\cos x+{\rm {i}}\sin x$ vérifie $f'={\rm {i}}f{\text{ et }}f(0)=1.$

Elle coïncide donc avec l'application $x \mapsto exp(i x)$ .

Historique

La formule d'Euler fut mise en évidence pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme $ln(cos x + i sin x) = i x$ (où $ln$ désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire le logarithme de base $e$ )[6]^,[7]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur la formule de Moivre et à l'aide d'équivalents et de passages à la limite[8]^,[9]. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Applications

La formule d'Euler permet d'affirmer que la détermination principale du logarithme complexe de $\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$ est $\mathrm {i} x$ , pour tout $x\in \left]-\pi ,\pi \right[$ .
Un exemple d'application en électromagnétisme est le courant alternatif : puisque la différence de potentiel d'un tel circuit oscille, elle peut être représentée par un nombre complexe : $V=V_{0}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+{\rm {i}}\sin \omega t\right).$ Afin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle[10] :

$\mathrm {Re} (V)=\mathrm {Re} \left[V_{0}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.$

La linéarisation, qui repose sur la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton, transforme tout polynôme en $cos(x)$ et $sin(x)$ en une combinaison linéaire de divers $cos(nx)$ et $sin(nx)$ , ce qui rend alors immédiat le calcul de ses primitives.

Voir aussi

Articles connexes

Théorème de Descartes-Euler
Relation d'Euler dans le triangle
Méthode d'Euler, calcul approché d'équations différentielles et de primitives
Identité d'Euler, la fameuse identité : $e iπ$ + 1 = 0

Références

(en) Alan Sultan et Alice F. Artzt, The mathematics that every secondary school math teacher needs to know, Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, p. 326.
(en) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Feynman Lectures on Physics [détail de l’édition], vol. 1, p. 22, d'après (en) « Euler's identity » sur Wikiquote.
Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, 1997 (lire en ligne), p. 96.
Chatterji 1997, p. 97.
Ernst Hairer et Gerhard Wanner, L'Analyse au fil de l'histoire, Springer, 2001, p. 59
Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie, Paris, CNRS Éditions, 2003 (ISBN 2 271 06128 8), p. 80.
(en) John Stillwell, Mathematics and Its History [détail des éditions], p. 294.
L. Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale, article 138.
Flament 2003, p. 83-84.
Voir des exemples dans : Electromagnetism (2^e édition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 (ISBN 0-471-92712-0).

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[1] (en) Alan Sultan et Alice F. Artzt, The mathematics that every secondary school math teacher needs to know, Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, p. 326.

[2] (en) Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Feynman Lectures on Physics [détail de l’édition], vol. 1, p. 22, d'après (en) « Euler's identity » sur Wikiquote.

[3] Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 2 : Analyse complexe, PPUR, 1997 (lire en ligne), p. 96.

[4] Chatterji 1997, p. 97.

[5] Ernst Hairer et Gerhard Wanner, L'Analyse au fil de l'histoire, Springer, 2001, p. 59

[6] Dominique Flament, Histoire des nombres complexes : Entre algèbre et géométrie, Paris, CNRS Éditions, 2003 (ISBN 2 271 06128 8), p. 80.

[7] (en) John Stillwell, Mathematics and Its History [détail des éditions], p. 294.

[8] L. Euler, Introduction à l'analyse infinitésimale, article 138.

[9] Flament 2003, p. 83-84.

[10] Voir des exemples dans : Electromagnetism (2^e édition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 (ISBN 0-471-92712-0).