Fougère de Barnsley

La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere[1].

Une fougère de Barnsley tracée avec VisSim.

Construction

La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines[2]. La formule pour une application affine est la suivante :

Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.

w a b c d e f p Partie générée
ƒ1 0 0 0 0.16 0 0 0.01 Tige
ƒ2 0.85 0.04 −0.04 0.85 0 1.60 0.85 Petites folioles
ƒ3 0.20 −0.26 0.23 0.22 0 1.60 0.07 Grandes folioles de gauche
ƒ4 −0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07 Grandes folioles de droite

Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :

Programmation de la fonction

Le premier point tracé est à l'origine (x0 = 0, y0 = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :

ƒ1

xn + 1 = 0
yn + 1 = 0.16 yn.

Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations

ƒ2

xn + 1 = 0.85 xn + 0.04 yn
yn + 1 = −0.04 xn + 0.85 yn + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.

ƒ3

xn + 1 = 0.2 xn  0.26 yn
yn + 1 = 0.23 xn + 0.22 yn + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).

ƒ4

xn + 1 = −0.15 xn + 0.28 yn
yn + 1 = 0.26 xn + 0.24 yn + 0.44.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

Variétés mutantes

En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales[3].

Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae[4],[5].

Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.

Coefficients de la fougère Cyclosorus
w a b c d e f p
ƒ1 0 0 0 0,25 0 -0,4 0,02
ƒ2 0,95 0,005 -0,005 0,93 −0.002 0,5 0,84
ƒ3 0.035 −0.2 0,16 0,04 -0,09 0,02 0,07
ƒ4 −0.04 0.2 0,16 0,04 0,083 0,12 0,07


Notes et références

  1. Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)
  2. Robert Ferreol, « Fougère », sur mathcurve (consulté le )
  3. Michael Fielding Barnsley, « SuperFractals », dans Superfractals, Cambridge University Press (ISBN 978-1-107-59016-8, lire en ligne), p. 385–442
  4. « A Barnsley Fern Generator », sur www.chradams.co.uk (consulté le )
  5. « Fractal Ferns », sur www.dcnicholls.com (consulté le )

Articles connexes

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