Fougère de Barnsley

La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere[1].

Une fougère de Barnsley tracée avec VisSim.

Construction

La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines[2]. La formule pour une application affine est la suivante :

f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}

Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.

w	a	b	c	d	f	p	Partie générée
ƒ₁	0	0	0	0.16	0	0.01	Tige
ƒ₂	0.85	0.04	−0.04	0.85	1.60	0.85	Petites folioles
ƒ₃	0.20	−0.26	0.23	0.22	1.60	0.07	Grandes folioles de gauche
ƒ₄	−0.15	0.28	0.26	0.24	0.44	0.07	Grandes folioles de droite

Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :

f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}

f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}

f_{3}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}

f_{4}(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}

Programmation de la fonction

Le premier point tracé est à l'origine (x₀ = 0, y₀ = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :

ƒ₁

x_{n + 1} = 0

y_{n + 1} = 0.16 y_n.

Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations

ƒ₂

x_{n + 1} = 0.85 x_n + 0.04 y_n

y_{n + 1} = −0.04 x_n + 0.85 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.

ƒ₃

x_{n + 1} = 0.2 x_n − 0.26 y_n

y_{n + 1} = 0.23 x_n + 0.22 y_n + 1.6.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).

ƒ₄

x_{n + 1} = −0.15 x_n + 0.28 y_n

y_{n + 1} = 0.26 x_n + 0.24 y_n + 0.44.

Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).

Variétés mutantes

En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales[3].

Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae[4]^,[5].

Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.

Coefficients de la fougère Cyclosorus
w	a	b	c	d	e	f	p
ƒ₁	0	0	0	0,25	0	-0,4	0,02
ƒ₂	0,95	0,005	-0,005	0,93	−0.002	0,5	0,84
ƒ₃	0.035	−0.2	0,16	0,04	-0,09	0,02	0,07
ƒ₄	−0.04	0.2	0,16	0,04	0,083	0,12	0,07

Notes et références

Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)
Robert Ferreol, « Fougère », sur mathcurve (consulté le 1^er décembre 2018)
Michael Fielding Barnsley, « SuperFractals », dans Superfractals, Cambridge University Press (ISBN 978-1-107-59016-8, lire en ligne), p. 385–442
« A Barnsley Fern Generator », sur www.chradams.co.uk (consulté le 10 juillet 2020)
« Fractal Ferns », sur www.dcnicholls.com (consulté le 10 juillet 2020)

Articles connexes

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[Fractals-1] Fractals Everywhere, Boston, MA: Academic Press, 1993, (ISBN 0-12-079062-9)

[2] Robert Ferreol, « Fougère », sur mathcurve (consulté le 1^er décembre 2018)

[3] Michael Fielding Barnsley, « SuperFractals », dans Superfractals, Cambridge University Press (ISBN 978-1-107-59016-8, lire en ligne), p. 385–442

[4] « A Barnsley Fern Generator », sur www.chradams.co.uk (consulté le 10 juillet 2020)

[5] « Fractal Ferns », sur www.dcnicholls.com (consulté le 10 juillet 2020)