Générateur infinitésimal

Un générateur infinitésimal est un outil de calcul stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu

Soit le processus stochastique $\{X(t),t\geq 0\}$ $\text{[math]}$ à temps continu et à états discrets.
- Soit $\tau _{i}$ la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état $i$ avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
  $P[\tau _{i}>s+t|\tau _{i}>t]=P[\tau _{i}>s],$
  ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
  De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires $\tau _{i}$ suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
- On notera $p_{ij}(t)$ la probabilité que partant de l'état $i$ à un instant $s$ , on soit dans $j$ à l'instant $t+s$ . C'est-à-dire :

p_{ij}(t)=P[X(t+s)=j|X(s)=i]=P[X(t)=j|X(0)=i].

Les fonctions

p_{ij}(t)

sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et ont la propriété :

Pour tout i,

\sum _{j=0}^{\infty }p_{ij}(t)=1

(c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)

Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.

Notes et références

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