Graphe orienté

• Étant donné un arc ${\displaystyle (x,y)}$, on dit que ${\displaystyle x}$ est l'origine (ou la source ou le départ ou le début) de ${\displaystyle (x,y)}$ et que ${\displaystyle y}$ est la cible (ou l'arrivée ou la fin) de ${\displaystyle (x,y)}$.
• Le demi-degré extérieur (degré sortant) d'un nœud, noté ${\displaystyle d^{+}(x)}$, est le nombre d'arcs ayant ce nœud pour origine.
• Le demi-degré intérieur (degré entrant) d'un nœud, noté ${\displaystyle d^{-}(x)}$, est le nombre d'arcs ayant ce nœud pour cible.
• Chaque arc ayant une seule origine et une seule cible, le graphe comporte autant de degrés sortants que de degrés entrants : ${\displaystyle \sum _{x\in V}d^{+}(x)=\sum _{x\in V}d^{-}(x)}$.
• ${\displaystyle x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},\cdots ,x_{n-1}x_{n}}$ est un chemin si et seulement si ${\displaystyle \forall p\in \{1,2,\cdots ,n-1\},(x_{p},x_{p+1})}$ est un arc ; on dit que le chemin est élémentaire si tous les ${\displaystyle x_{i}}$ sont distincts.
• le chemin ${\displaystyle x_{1}x_{2},x_{2}x_{3},\cdots ,x_{n-1}x_{n}}$ est un circuit si et seulement si ${\displaystyle (x_{n},x_{1})}$ est un arc. Ce qui est équivalent à dire que le nœud de début du chemin est également sa fin.
• le graphe ${\displaystyle G'=(V',A')}$ est un sous-graphe du graphe orienté ${\displaystyle G=(V,A)}$ si et seulement si ${\displaystyle G}$ contient ${\displaystyle G'}$. Plus précisément, ${\displaystyle G'\subseteq G}$ si et seulement si ${\displaystyle V'\subseteq V}$ et ${\displaystyle A'\subseteq \{(x,y)\in A\mid x\in V'\wedge y\in V'\}}$.

• Le graphe transposé ${\displaystyle G^{T}}$ d'un graphe orienté ${\displaystyle G=(V,A)}$ est obtenu en conservant tous les nœuds de ${\displaystyle V}$et en inversant tous les arcs de ${\displaystyle A}$. Autrement dit, ${\displaystyle G^{T}=(V,A^{T})}$ avec ${\displaystyle A^{T}=\{(y,x)\mid (x,y)\in A\}}$. On parle aussi de graphe inverse[1].

${\displaystyle G'}$, un sous-graphe du graphe ${\displaystyle G}$.
(Figure 2)

• le graphe dessiné dans la figure 1 est défini par ${\displaystyle V=\{1,2,3,4\}}$ et par${\displaystyle A=\{(1,2),(1,3),(3,2),(3,4),(4,3)\}}$.
• le degré sortant ${\displaystyle d^{+}(1)=2}$. Deux arcs ont pour origine le nœud ${\displaystyle 1}$.
• le degré entrant ${\displaystyle d^{-}(1)=0}$. Aucun arc n'a pour cible le nœud ${\displaystyle 1}$.
• ${\displaystyle 1,3,2}$ est un chemin du graphe ${\displaystyle G}$ (puisque ${\displaystyle (1,3)}$ et ${\displaystyle (3,2)}$ appartiennent à ${\displaystyle A}$) .
• ${\displaystyle 3,4}$ est un circuit du graphe ${\displaystyle G}$ (et c'est le seul circuit élémentaire si on l'identifie au circuit ${\displaystyle (4,3)}$), car les arcs ${\displaystyle (3,4)}$ et ${\displaystyle (4,3)}$ appartiennent à ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle G'=(\{1,2,3\},\{(1,3),(3,2)\})}$ est un sous-graphe de ${\displaystyle G}$.
• ${\displaystyle G^{T}=(\{1,2,3,4\},\{(2,1),(3,1),(2,3),(4,3),(3,4)\})}$ est le transposé de ${\displaystyle G}$.

Les graphes orientés sont des modèles pour diverses situations.

• Les systèmes routiers possédant des sens uniques, les systèmes de transport dissymétriques...
• Les graphes d'état mêlant transitions réversibles et irréversibles (exemple : les automates à états finis).
• Le flot de contrôle d'un programme.
• Les réseaux de flot sont des graphes orientés dont les arcs sont étiquetés par des capacités.

• Claude Berge, Théorie des graphes et ses applications, Paris, Dunod, 1958, 275 p. (OCLC 780360).

• Lexique de la théorie des graphes
• Graphe non orienté
• Automate fini

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