Groupe de Lie commutatif

• Un groupe de Lie connexe est commutatif si son crochet de Lie sur l'algèbre de Lie associée est trivial (ie identiquement nul).

Soit G un groupe de Lie, et g son algèbre de Lie, réalisée comme l'algèbre de Lie des champs de vecteurs sur G invariants à gauche. Si X et Y sont deux tels champs de vecteurs, le flot défini par Y est un ensemble de translations à droite sur le groupe G. Si la loi est commutative, ce sont aussi des translations à gauche ; de suite, le flot de Y laisse le champ X invariant. Le crochet de Lie ${\displaystyle [X,Y]}$ est donc nul.

• Pour tout groupe de Lie commutatif connexe G, l'application exponentielle induit un isomorphisme de groupes de Lie entre G et un quotient de g par un sous-réseau.

Par définition, l'application ${\displaystyle \exp }$ associe à tout champ de vecteurs invariant à gauche X la valeur ${\displaystyle \phi _{1}^{X}(e)}$ au temps 1 de son flot ${\displaystyle \{\phi _{t}\}}$ appliqué en e. Par dépendance des équations différentielles ordinaires des paramètres, elle est une application différentiable ${\displaystyle \mathbf {g} \rightarrow G}$.

Le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie g est trivial, car la loi de groupe de G est commutative. En particulier, deux éléments quelconques X et Y de g commutent, et de fait :

${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X).\exp(Y)}$

Par conséquent, ${\displaystyle \exp }$ est un morphisme de groupes de Lie ${\displaystyle \mathbf {g} \rightarrow G}$. Son noyau K est un sous-groupe fermé de G. La différentielle de l'exponentielle en l'élément neutre e est l'identité sur g. Par le théorème du difféomorphisme local, l'exponentielle réalise par restriction un difféomorphisme d'un voisinage de 0 dans g sur un voisinage de e dans G. En particulier, 0 est la seule préimage de e au voisinage de 0. De suite, le groupe K est un sous-groupe additif discret de g, autrement dit, un réseau de l'espace vectoriel réel g.

Par passage au quotient, l'exponentielle induit un isomorphisme de groupes de Lie entre G et le quotient g/K.

En outre, la classification des sous-réseaux K d'un espace vectoriel réel E de dimension finie est connue. Il existe une base ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ de E telle que K soit exactement ${\displaystyle \mathbb {Z} e_{1}\oplus \dots \oplus \oplus \mathbb {Z} e_{n}}$. Il en découle :

• Un groupe de Lie commutatif connexe est isomorphe à un produit direct de copies de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et de ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$.

En particulier :

• Un groupe de Lie commutatif compact connexe est isomorphe à un tore ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}}$, où n est la dimension de G comme variété différentielle. L'isomorphisme est uniquement défini à composition près par un élément de ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {Z} )}$.

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