Identité de Landsberg-Schaar

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres et en analyse harmonique, l’identité de Landsberg-Schaar est la relation suivante, vraie pour des entiers positifs p et q arbitraires :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi \mathrm {i} n^{2}q}{p}}\right)={\frac {1+\mathrm {i} }{2{\sqrt {q}}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi \mathrm {i} n^{2}p}{2q}}\right)}$.

Bien que les deux membres de l'égalité ne soient que des sommes finies, aucune démonstration par des méthodes finitaires n'a encore été découverte. La démonstration actuelle[1] consiste à poser ${\displaystyle \tau ={\frac {2\mathrm {i} q}{p}}+\varepsilon }$ (avec ${\displaystyle \varepsilon >0}$) dans l'identité suivante (due à Jacobi, et qui est essentiellement un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson en analyse harmonique) :

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}\tau }={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}/\tau }}$

puis de faire tendre ${\displaystyle \varepsilon }$ vers 0.

Prenant q = 1, l'identité se réduit à la formule donnant la valeur des sommes quadratiques de Gauss.

Si pq est pair, on peut réécrire l'identité sous la forme plus symétrique

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {\pi \mathrm {i} n^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {q}}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp \left(-{\frac {\pi \mathrm {i} n^{2}p}{q}}\right)}$.