Identités de Rogers-Ramanujan
En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques suivantes[1], qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :
Histoire
Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894[2], puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913[3]. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve[4]. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917[5].
Symboles de Pochhammer
Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :
Interprétations combinatoires
Pour la première identité (G), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9, etc.)[6],[7].
Pour la seconde (H) :
- est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2.
- est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.
Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions de n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.
Notes et références
- G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 375, th. 362 et 363.
- (en) Leonard James Rogers, « Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. 26, no 1, , p. 15-32 (DOI 10.1112/plms/s1-26.1.15).
- Il les a communiquées à Percy Alexander MacMahon qui les a incluses dans son livre Combinatory Analysis, Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, sans démonstration.
- (en) Leonard James Rogers et Srinivasa Ramanujan, « Proof of certain identities in combinatory analysis », Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19, , p. 211-216.
- (de) Issai Schur, « Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche », Sitzungsberichte der Berliner Akademie, , p. 302-321.
- Hardy et Wright 2007, p. 376, th. 364.
- « Identité de Rogers-Ramanujan », sur Publimath.
Voir aussi
Bibliographie
- (en) Cilanne Boulet et Igor Pak (en), « A combinatorial proof of the Rogers-Ramanujan and Schur identities », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 113, no 6, , p. 1019-1030 (DOI 10.1016/j.jcta.2005.09.007, arXiv math/0411072, lire en ligne)
- (en) David Bressoud, « An easy proof of the Rogers-Ramanujan identities », J. Number Theory, vol. 16, no 2, , p. 235-241 (DOI 10.1016/0022-314X(83)90043-4)
Articles connexes
Lien externe
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