Image intégrale

Une image intégrale (ou summed area table) est une représentation sous la forme d'une image numérique et un algorithme, permettant de calculer rapidement des sommes de valeurs dans des zones rectangulaires.

Calcul de la somme des pixels dans une zone rectangulaire arbitrairement située dans une image numérique: seuls 4 accès à l'image intégrale (A,B,C,D) sont nécessaires.

Proposée à l'origine comme une méthode d'infographie en 1984[1], les images intégrales sont surtout connues en vision par ordinateur depuis 2001 par leur reformulation dans la méthode de Viola et Jones[2].

C'est une représentation sous la forme d'une image, de même taille que l'image d'origine, qui en chacun de ses points contient la somme des pixels situés au-dessus et à gauche de ce point. Plus formellement, l'image intégrale ${\displaystyle ii}$ est définie à partir de l'image ${\displaystyle i}$ par[2]:

${\displaystyle ii(x,y)=\sum _{x'\leq x,y'\leq y}i(x',y')}$

Grâce à cette représentation sous forme de table de correspondance, la somme des valeurs dans une zone rectangulaire peut être calculée en seulement 4 accès à l'image intégrale (6 accès pour deux zones rectangulaires contiguës), et donc en temps constant quelle que soit la taille de la zone[2].

Cette somme peut se calculer par récurrence, par:

${\displaystyle s(x,y)=s(x,y-1)+i(x,y)}$

${\displaystyle ii(x,y)=ii(x-1,y)+s(x,y)}$

où ${\displaystyle s(x,y)}$ est la somme cumulée de la ligne x jusqu'à la colonne y. L'image intégrale peut donc se calculer avec un seul parcours de l'image d'origine.

Une fois l'image intégrale calculée, la somme des pixels à l'intérieur de n'importe quel rectangle ABCD peut être évaluée en seulement 4 accès:

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}x_{A}<x'\leq x_{C}\\y_{A}<y'\leq y_{C}\end{smallmatrix}}i(x',y')=ii(A)+ii(C)-ii(B)-ii(D).}$