Impossibilité du clonage quantique

Ce théorème a pour sens qu'il est impossible de faire des copies identiques (des clones) d'états quantiques inconnus. Si les états sont connus, alors les copier est équivalent à copier des bits classiques, donc faisable, par exemple avec la porte CNOT.

Par conséquent, il est impossible de dupliquer des qubits afin de suivre l'algorithme du code de répétition, un des codes les plus simples de la théorie classique correspondante.

Deux états quantiques peuvent être intriqués identiquement par une porte CNOT, mais ceci n'est pas du clonage parce que les deux systèmes fourniront le même résultat lorsque mesurés.

Soit un système quantique ${\displaystyle A}$ dans l'état ${\displaystyle |a\rangle _{A}}$. Soit un second système quantique ${\displaystyle B}$ de même espace d'états, on le prend initialement dans l'état quelconque ${\displaystyle |b\rangle _{B}}$. Ces deux systèmes quantiques forment un système total dont l'état est donné par le produit tensoriel ${\displaystyle |a\rangle _{A}|b\rangle _{B}}$.

On ne peut pas copier ${\displaystyle |a\rangle _{A}}$ en le mesurant directement, sous peine de réduire le système à l'un de ses états propres et perdre une partie de l'information contenue dans l’état initial que l'on veut copier.

On ne peut donc qu'agir sur l'hamiltonien du système et donc sur son opérateur d'évolution ${\displaystyle U}$. On doit ainsi avoir :

${\displaystyle U|a\rangle _{A}|b\rangle _{B}=|a\rangle _{A}|a\rangle _{B}}$

mais aussi pour tout autre état ${\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}$ quelconque de ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle U|\alpha \rangle _{A}|b\rangle _{B}=|\alpha \rangle _{A}|\alpha \rangle _{B}}$

On a donc pour tout ${\displaystyle |a\rangle _{A}}$ et ${\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}$ quelconques, l’opérateur ${\displaystyle U}$ étant unitaire (i.e. ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$) :

${\displaystyle \langle b|_{B}\langle a|_{A}U^{\dagger }U|\alpha \rangle _{A}|b\rangle _{B}=\langle a|_{B}\langle a|_{A}|\alpha \rangle _{A}|\alpha \rangle _{B}}$

i.e.

${\displaystyle \langle b|_{B}\langle a|_{A}|\alpha \rangle _{A}|b\rangle _{B}=\langle a|_{B}\langle a|_{A}|\alpha \rangle _{A}|\alpha \rangle _{B}}$

soit

${\displaystyle \langle a|\alpha \rangle =\langle a|\alpha \rangle ^{2}.}$

ce qui n'est possible que si ces deux états sont orthogonaux ou égaux. On entre en contradiction avec l’hypothèse de départ que ces états sont quelconques, on a montré par l'absurde l'impossibilité de cloner l'état ${\displaystyle |a\rangle _{A}}$.