Inégalité arithmético-géométrique

George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en considérant[1] :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exp x\geq 1+x.}$

On considère ensuite a₁, a₂, ..., a_n des nombres réels positifs. On pose ensuite :

${\displaystyle A={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k},\ G=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres a_k/A, ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {a_{k}}{A}}\leq \exp \left({\frac {a_{k}}{A}}-1\right)}$

dont le produit donne :

${\displaystyle {\frac {\prod _{k=1}^{n}a_{k}}{A^{n}}}\leq \exp \left({\frac {1}{A}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-n\right)}$

soit

${\displaystyle {\frac {G^{n}}{A^{n}}}\leq \exp \left(n-n\right)=1,}$

ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les a_i sont tous égaux (à A)[2].

Horst Aizer donne cette preuve[3] : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x₀ vérifiant

${\displaystyle \forall x>x_{0},\ f(x)>f(x_{0})\ \mathrm {et} \ \forall x<x_{0},\ f(x)<f(x_{0}).}$

On a alors :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\geq \int _{x_{0}}^{x}f(x_{0})\,\mathrm {d} t=(x-x_{0})f(x_{0}).}$

On applique ce résultat à f(t) = –1/t :

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leq {\frac {x-x_{0}}{x_{0}}}.}$

On en déduit

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{x_{0}}^{a_{i}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}-x_{0}}{x_{0}}}.}$

soit

${\displaystyle \ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{n}}}{x_{0}}}\leq {\frac {1}{nx_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}-1}$

donc ln(G/x₀) ≤ ^A⁄_x0 – 1. Considérer x₀ = A ou G permet de conclure.

Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire[4]. On considère l'identité :

${\displaystyle (1-z)^{2}(1+2z+3z^{2}+...+nz^{n-1})=1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}.}$

qu'on peut obtenir en dérivant l'expression 1 – zⁿ⁺¹/1 – z de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour z positif. On a donc, pour z positif :

${\displaystyle 1+nz^{n+1}\geq (n+1)z^{n}}$

avec égalité en z = 1. La substitution ${\displaystyle z^{n+1}=x/y}$ donne

${\displaystyle nx+y\geq (n+1)(x^{n}y)^{\frac {1}{n+1}}}$

avec égalité si et seulement si x = y. On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur n pour conclure.

Fergus Gaines donne une preuve[5] reposant sur une inégalité de Schur[6] : soit M une matrice carrée de valeurs propres λ₁, λ₂, ... , λ_n, alors on a, par le résultat de Schur,

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}|a_{i,j}|^{2}\geq \sum _{k=0}^{n}|\lambda _{k}|^{2},}$

avec égalité si et seulement si M est normale. Appliquée à la matrice

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {a_{1}}}&0&\ldots &\ldots &\ldots &0\\0&0&{\sqrt {a_{2}}}&\ddots &&\vdots &0\\\vdots &&&\ddots &\ddots &&0\\0&0&0&\ldots &\ldots &\ddots &{\sqrt {a_{n-1}}}\\{\sqrt {a_{n}}}&0&0&\ldots &\ldots &\ldots &0\end{pmatrix}}}$

en remarquant que Mⁿ = √a₁…a_n I_n, on a ${\displaystyle \lambda _{k}=\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{\frac {1}{2n}}.}$ Le résultat de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si diag(a₁, a₂, … , a_n) = diag(a_n, a₁, … , a_n–1), c.-à-d. si les a_i sont tous égaux.

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

Si ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geqslant 0}$ et ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0}$ alors, en notant ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$ :

${\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leqslant {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},}$

avec égalité si et seulement si tous les ${\displaystyle x_{k}}$ sont égaux.

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun ${\displaystyle x_{k}}$ n'est nul et en notant ${\displaystyle t_{k}:=\alpha _{k}/\alpha }$ (strictement positifs et de somme ${\displaystyle 1}$), l'inégalité équivaut (voir supra) à

${\displaystyle t_{1}\ln x_{1}+\dots +t_{n}\ln x_{n}\leqslant \ln(t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n})}$,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}$

Et on peut généraliser :

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {\sigma _{n-1}}{\displaystyle {\binom {n}{n-1}}}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}$

soit

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n}}{n}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}x_{2}+\dots +x_{n-1}x_{n}}{\displaystyle {\binom {n}{2}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

• Augustin Cauchy, Œuvres complètes, Gauthier-Villard, 1867 (lire en ligne), « Cours d'analyse », p. 376, lire en ligne sur Gallica
• Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2008, 2^e éd. (lire en ligne), p. 127-129
• (en) Peter S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 2003 (lire en ligne), p. 71-153
• (en) G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, CUP, 1952, 2^e éd. (lire en ligne), p. 16-21

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