Inégalité arithmético-géométrique

En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

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Preuve sans mots de l'inégalité arithmético-géométrique en deux dimensions : PR est un diamètre d'un cercle de centre O ; son rayon AO a donc pour longueur la moyenne arithmétique de a et b. Par le théorème de la moyenne géométrique, on trouve aussi que la hauteur GQ a pour longueur la moyenne géométrique de a et b. On a donc bien pour tous a:b, AO ≥ GQ.

Énoncé

La moyenne géométrique de réels strictement positifs est inférieure à leur moyenne arithmétique :

,

avec égalité (si et) seulement si .

Démonstrations

Les deux réels (moyenne arithmétique) et (moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel) à

ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme) à

Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres, appliquée à la fonction logarithme, qui est concave.

Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0, … , 0) et (1/n, … , 1/n).

On peut également utiliser les multiplicateurs de Lagrange en étudiant les maximums de la fonction sur l'ensemble .

Preuve de Pólya

George Pólya prouve l'inégalité arithmético-géométrique en considérant[1] :

On considère ensuite a1, a2, ..., an des nombres réels positifs. On pose ensuite :

On utilise l'inégalité ci-dessus pour les nombres ak/A, ce qui donne :

dont le produit donne :

soit

ce qui permet de conclure. On remarque alors qu'on atteint l'égalité s'il y a égalité dans chacune des inégalités précédentes, donc si les ai sont tous égaux (à A)[2].

Preuve d'Aizer

Horst Aizer donne cette preuve[3] : soit f une fonction réelle continue telle qu'il existe x0 vérifiant

On a alors :

On applique ce résultat à f(t) = –1/t :

On en déduit

soit

donc ln(G/x0) ≤ Ax0 – 1. Considérer x0 = A ou G permet de conclure.

Preuve de Schlömilch

Oskar Schlömilch donne une preuve élémentaire[4]. On considère l'identité :

qu'on peut obtenir en dérivant l'expression 1 – zn+1/1 – z de deux façons différentes. Le membre de gauche est positif pour z positif. On a donc, pour z positif :

avec égalité en z = 1. La substitution donne

avec égalité si et seulement si x = y. On retrouve alors une inégalité arithmético-géométrique pondérée. On finit par récurrence sur n pour conclure.

Preuve matricielle

Fergus Gaines donne une preuve[5] reposant sur une inégalité de Schur[6] : soit M une matrice carrée de valeurs propres λ1, λ2, ... , λn, alors on a, par le résultat de Schur,

avec égalité si et seulement si M est normale. Appliquée à la matrice

en remarquant que Mn = a1an In, on a Le résultat de Schur donne directement l'inégalité arithmético-géométrique, avec égalité si et seulement si diag(a1, a2, … , an) = diag(an, a1, … , an–1), c.-à-d. si les ai sont tous égaux.

Généralisation

Pondération

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

Si et alors, en notant  :

avec égalité si et seulement si tous les sont égaux.

En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun n'est nul et en notant (strictement positifs et de somme ), l'inégalité équivaut (voir supra) à

,

qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.

Inégalité de Maclaurin

On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :

Et on peut généraliser :

soit

Ce sont les inégalités de Maclaurin.

Références

  1. Hardy, Littlewood et Pólya 1952.
  2. (en) Ross Honsberger, Mathematical Morsels, (lire en ligne), Problem 26.
  3. (en) Horst Aizer, « A proof of the arithmetic mean-geometric mean inequality », Amer. Math. Monthly, vol. 103, no 7, , p. 585.
  4. (de) O. Schlömilch, « Über Mïttelgrössen verschiedener Ordnungen », Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol. 3, , p. 308-10.
  5. (en) Fergus Gaines, « On the arithmetic mean-geometric mean inequality », Amer. Math. Monthly, vol. 74, , p. 305-306 (lire en ligne).
  6. (de) I. Schur, « Über die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen », Math. Ann., vol. 66, , p. 488-510 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

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