Inégalité d'Askey-Gasper

En mathématiques, l'inégalité d'Askey-Gasper est une inégalité sur les polynômes de Jacobi démontrée par Richard Askey et George Gasper (en) en 1976[1] et qui est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach[2].

Énoncé

L'énoncé est :

Inégalité d'Askey-Gasper — Pour $β \geq 0$ , $α + β \geq 2$ et $-1 \leq x \leq 1$ , on a

\sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0

où $P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ est un polynôme de Jacobi.

Pour $β = 0$ , la formule peut s'écrire

{}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)>0,\quad {\text{  avec  }}\quad \ 0\leq t<1,\ \alpha >-1.

C'est dans cette forme, avec $α$ entier, que l'inégalité a été utilisée par Louis de Branges dans sa démonstration de la conjecture de Bieberbach.

Démonstration

Shalosh B. Ekhad[3] a donné une preuve courte de cette inégalité, en combinant l'inégalité :

{\begin{aligned}{\frac {(\alpha +2)_{n}}{n!}}&\times {}_{3}F_{2}\left(-n,n+\alpha +2,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +3),\alpha +1;t\right)\\&={\frac {\left({\tfrac {1}{2}}\right)_{j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+1\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-2j}(\alpha +1)_{n-2j}}{j!\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {3}{2}}\right)_{n-j}\left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)_{n-2j}(n-2j)!}}\times {}_{3}F_{2}\left(-n+2j,n-2j+\alpha +1,{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1);{\tfrac {1}{2}}(\alpha +2),\alpha +1;t\right)\end{aligned}}

avec la formule de Clausen (en).

Généralisations

Gasper et Rahman donnent, dans leur livre[4], quelques généralisations de l'inégalité d'Askey-Gasper à des q-analogues de séries hypergéométriques généralisées.

Voir aussi

Inégalité de Turán (en)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Askey–Gasper inequality » (voir la liste des auteurs).

Richard Askey et George Gasper, « Positive Jacobi polynomial sums. II », American Journal of Mathematics, vol. 98, n^o 3,‎ 1976, p. 709–737 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2373813, JSTOR 2373813, Math Reviews 0430358).
Richard Askey et George Gasper, « Inequalities for polynomials », dans Albert Baernstein, David Drasin,, The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985), Providence, R.I., American Mathematical Society (n^o 21), 1986 (ISBN 978-0-8218-1521-2, Math Reviews 875228, lire en ligne), p. 7–32.
Shalosh B. Ekhad, « A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture », Theoretical Computer Science, vol. 117, n^o 1,‎ 1993, p. 199–202 (ISSN 0304-3975, DOI 10.1016/0304-3975(93)90313-I, Math Reviews 1235178) — Numéro spécial : Maryse Delest, Gérard Jacob et Pierre Leroux (éditeurs), Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Bordeaux, 1991).
George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 96), 2004, 2^e éd., xxvi+428 (ISBN 978-0-521-83357-8, Math Reviews 2128719, lire en ligne), Section 8.9.

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[1] Richard Askey et George Gasper, « Positive Jacobi polynomial sums. II », American Journal of Mathematics, vol. 98, n^o 3,‎ 1976, p. 709–737 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2373813, JSTOR 2373813, Math Reviews 0430358).

[2] Richard Askey et George Gasper, « Inequalities for polynomials », dans Albert Baernstein, David Drasin,, The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985), Providence, R.I., American Mathematical Society (n^o 21), 1986 (ISBN 978-0-8218-1521-2, Math Reviews 875228, lire en ligne), p. 7–32.

[3] Shalosh B. Ekhad, « A short, elementary, and easy, WZ proof of the Askey-Gasper inequality that was used by de Branges in his proof of the Bieberbach conjecture », Theoretical Computer Science, vol. 117, n^o 1,‎ 1993, p. 199–202 (ISSN 0304-3975, DOI 10.1016/0304-3975(93)90313-I, Math Reviews 1235178) — Numéro spécial : Maryse Delest, Gérard Jacob et Pierre Leroux (éditeurs), Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (Bordeaux, 1991).

[4] George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 96), 2004, 2^e éd., xxvi+428 (ISBN 978-0-521-83357-8, Math Reviews 2128719, lire en ligne), Section 8.9.