Inégalité d'Hermite-Hadamard

En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, dit que si une fonction f:[a,b]→ℝ est convexe, alors son intégrale est bornée par :

Illustration de l'inégalité d'Hermite-Hadamard.

Preuve

Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f et f + ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque x0 ∈ [a,b], on peut construire une ligne

telle que

On a, en particulier, pour x0=a+b/2 :

D'autre part, toujours par convexité de f, on a :

Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :

Généralisation par les intégrales itérées

On considère f:[a, b] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour asb.:

Alors si f est convexe, pour a < xi < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (xixj et ij), alors on a:

avec

L'inégalité change de sens si f est concave.

Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.

On a également : avec pour alors

Références

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