Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire d'espérance ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ avec ${\displaystyle \sigma }$ l'écart type de ${\displaystyle X}$ (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} [X]\right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}\,.}$

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de ${\displaystyle \alpha }$ de son espérance est plus petite que ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}}$. La démonstration consiste à appliquer l'inégalité de Markov ${\displaystyle \mathbb {P} (Z\geq a)\leq {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}}$ à la variable ${\displaystyle (X-\mathbb {E} [X])^{2}}$ et au réel ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ strictement positif compte tenu du fait que ${\displaystyle \{|X-\mathbb {E} [X]|\geq \alpha \}=\{(X-\mathbb {E} [X])^{2}\geq \alpha ^{2}\}}$.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est en fait une propriété plus forte de théorie de la mesure. Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ un espace mesuré, et ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ une fonction mesurable. Soit encore ${\displaystyle g}$ une fonction borélienne, positive, et croissante. Alors, on a la majoration suivante :

Borne de Tchebychev — Pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle g(t)\neq 0}$, on a

${\displaystyle \mu (\{x\in X\ |\ f(x)\geq t\})\leq {\frac {1}{g(t)}}\int _{X}g\circ f\mathrm {d} \mu .}$

Cette majoration se prouve facilement en remarquant que puisque ${\displaystyle g}$ est croissante, on a l'inégalité ${\displaystyle g(f(x))\geq g(t)1_{\{f(x)\geq t\}}}$, d'où :

${\displaystyle \mu (\{x\in X\ |\ f(x)\geq t\})\ =\ \int _{X}1_{\{f(x)\geq t\}}\mathrm {d} \mu (x)\ \leq \ \int _{X}{\frac {1}{g(t)}}g(f(x))\mathrm {d} \mu (x).}$

Remarquons également que si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de probabilité, on retrouve la version probabiliste de l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev en prenant ${\displaystyle f=|X-\mathbb {E} [X]|}$ et ${\displaystyle g(t)=t^{2}}$. Mais on peut aussi obtenir d'autres inégalités intéressantes avec d'autres choix de ${\displaystyle g}$ sous de bonnes conditions. Par exemple, quand la variable aléatoire ${\displaystyle X}$ est bornée, avec ${\displaystyle f=X}$ et ${\displaystyle g(t)=e^{\lambda t}}$ on obtient l'inégalité de Tchébychev exponentielle : ${\displaystyle \mathbb {P} (X\geq t)\leq e^{-\lambda t+K(\lambda )}}$ où ${\displaystyle K}$ est la fonction génératrice des cumulants de ${\displaystyle X}$.

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