Indépendance en probabilité élémentaire

Si A et B sont deux événements de probabilité non nulle, on dit que A et B sont indépendants si :

${\displaystyle \mathbb {P} (B)=\mathbb {P} _{A}(B)=\mathbb {P} (B|A)\,}$

(la distribution de B dans l'univers entier est identique à celle de B dans le sous-univers A)

La définition de la probabilité conditionnelle de B sachant A :

${\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=\mathbb {P} _{A}(B)={\dfrac {\mathbb {P} (B\cap A)}{\mathbb {P} (A)}}}$

induit immédiatement deux autres définitions équivalentes de l'indépendance :

• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)\,}$
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} _{B}(A)=\mathbb {P} (A|B)\,}$

Exemple

Dans le lancer d'un dé équilibré, les événements A = « obtenir un numéro pair » = {2; 4; 6} et B = « obtenir un multiple de 3 » = {3; 6} sont des événements indépendants. La répartition des nombres pairs dans l'univers Ω = {1 ; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6} est identique à celle des nombres pairs dans B.

Traduit sous forme de probabilité, cela donne :

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} _{B}(A)=1/2\,}$.

On peut aussi simplement observer que :

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1/2,\mathbb {P} (B)=1/3\,}$

et que

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (\{6\})=1/6=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)\,}$.

D'autre part, les événements A = « obtenir un nombre pair » = {2; 4; 6} et C = « obtenir au moins 4 » = {4; 5; 6} ne sont pas indépendants car la répartition des nombres pairs dans l'univers de départ est de 1/2 et la répartition dans le sous-univers C est de 2/3.

On peut aussi simplement observer que :

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap C)=\mathbb {P} (\{4;6\})=1/3\neq \ \mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (C)=1/4\,}$

Événements incompatibles

Deux événements incompatibles, de probabilité non nulle, ne sont jamais indépendants. En effet, leur intersection étant vide, la probabilité de l'intersection est nulle, alors que ni P(A), ni P(B) n'est nul.

Événements contraires

Si deux événements A et B sont indépendants, alors l’événement A et le contraire de l’événement B sont aussi indépendants. En effet :

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap {\overline {B}})=\mathbb {P} (A)-\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)-\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (A)(1-\mathbb {P} (B))=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} ({\overline {B}})}$

On considère une expérience 1 conduisant à la création d'un univers Ω₁ muni d'une probabilité P₁, et d'une expérience 2 conduisant à la création d'un univers Ω₂ muni d'une probabilité P₂. La conjonction des deux expériences conduit à la création d'un univers produit Ω formé de couples d'éléments de Ω₁ et Ω₂ , cet univers se note Ω₁ × Ω₂ . On dira que les expériences sont indépendantes si on peut créer sur Ω une probabilité P produit des deux précédentes telle que P(A × B)=P₁(A) × P₂(B), pour tous événements A de Ω₁ et B de Ω₂.

Exemples

• La succession de deux tirages avec remise dans une urne constitue deux expériences indépendantes identiques. Le lancer successif d'une pièce et d'un dé constitue deux expériences indépendantes. La succession de deux tirages successifs sans remise ne constitue pas deux expériences indépendantes, le deuxième univers changeant en fonction du résultat du premier tirage.
• Le cas le plus classique de successions d'expériences indépendantes identiques est la succession de n expériences de Bernoulli conduisant à la création de la loi binomiale.
• Dans la loi des grands nombres, on considère aussi la succession de n expériences indépendantes.

Dans le cas de variables aléatoires X et Y définies sur un univers Ω fini, on dira que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si les événements {X=x_i} et {Y=y_j} sont indépendants pour tous x_i de X(Ω) et y_j de Y(Ω).

L'indépendance de variables aléatoires X et Y continues sort du cadre des mathématiques élémentaires. Deux variables aléatoires X et Y continues sont indépendantes lorsque

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x\ {\text{ et }}\ Y\leq y)=\mathbb {P} (X\leq x)\cdot \mathbb {P} (Y\leq y)\,}$

c'est-à-dire

${\displaystyle F_{X+Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)\,}$.

On démontre que lorsque les variables aléatoires sont indépendantes, la covariance de (X,Y) est nulle et

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\ }$.

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