Indice de Davies-Bouldin

Si l'on note ${\textstyle X}$ la matrice des données, dont chaque ligne correspond à un individu (ou observation) et chaque colonne correspond à un prédicteur (ou variable). On note ${\textstyle N}$ le nombre d'individus et ${\textstyle p}$ le nombre de prédicteurs :

$${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}x_{1}^{1}&...&x_{p}^{1}\\\vdots &&\vdots \\x_{1}^{N}&...&x_{p}^{N}\\\end{array}}\right)}$$

Notons ${\textstyle d(x^{i},x^{i'})}$ la dissimilarité entre les individus ${\displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},...,x_{p}^{i})}$ et ${\displaystyle x^{i'}=(x_{1}^{i'},...,x_{p}^{i'})}$ (respectivement, ligne ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle i'}$de ${\displaystyle X}$). Notons ${\displaystyle K\geqslant 2}$ le nombre de groupes que l'on souhaite former.

Un algorithme de partitionnement donnera une fonction d'attribution ${\displaystyle C:[\![1,N]\!]\longrightarrow [\![1,K]\!]}$ dont on cherche à évaluer la pertinence par un score. L'ensemble des points appartenant à un groupe ${\textstyle k}$ est alors donné par ${\textstyle I_{k}=\{i\in [\![1,N]\!]/\ C(i)=k\}}$.

L'indice (ou score) de Davies-Bouldin, ${\textstyle S_{DB}}$, se base sur les points moyens de chaque groupe ${\textstyle \mu _{k}={\frac {1}{\vert I_{k}\vert }}\sum _{i\in I_{k}}x^{i}}$ et la distance moyenne entre un point et le centre de son groupe ${\textstyle {\bar {\delta }}_{k}={\frac {1}{\vert I_{k}\vert }}\sum _{i\in I_{k}}d(x^{i},\mu _{k})}$.

Il aura pour expression[2] :

$${\displaystyle S_{DB}={\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}\max _{k'\neq k}\left({\frac {{\bar {\delta }}_{k}+{\bar {\delta }}_{k'}}{d(\mu _{k},\mu _{k'})}}\right)}$$

Elle peut varier un peu selon les implémentations (distance imposée ou choix limité).

L'indice de Davies-Bouldin varie entre 0 (meilleure classification) et ${\textstyle +\infty }$ (pire classification).