Intégrale de Borwein

En mathématiques, une intégrale de Borwein est une intégrale mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, définie par sinc(x) = sin(x)/x. Les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein et Jonathan Borwein en 2001, présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,

{\begin{aligned}&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

Ce schéma continue jusqu'à

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}

.

Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat[1]

{\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}\pi \\&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2{,}31\times 10^{-11}.\end{aligned}}

Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur $π/2$ chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 13 < 1$ , mais $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 15 > 1$ .

En ajoutant un terme supplémentaire en $cos(x)$ dans le produit, le schéma peut être prolongé :

\int _{0}^{+\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}},

jusqu'à

\int _{0}^{+\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,\mathrm {d} x<{\frac {\pi }{2}},

Dans ce cas, on a $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 111 < 2$ , mais $1 / 3 + 1 / 5 + \dots + 1 / 113 > 2.$

Les preuves de ces schémas ont été établies par des démonstrations intuitives[2]. En particulier, une reformulation en termes de marche aléatoire, couplée à un argument de causalité, éclaire le changement de comportement des intégrales de Borwein, et permet des généralisations à des familles reliées.[3]

Formule générale

Pour une suite de nombres réels non nuls $a 0, a 1, a 2,...$ , on peut associer une intégrale de la forme[4]

\int _{0}^{+\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x

Pour établir la formule, on devra considérer des sommes à partir des $a k$ . En particulier, si $γ = (γ 1, γ 2,...,γ n)$ est un n-uplet où chaque terme vaut $\pm1$ , alors on écrit $b γ = a 0 + γ 1 a 1 + γ 2 a 2 + ... + γ n a n$ , qui est une variation de la somme alternée, et le produit $ε γ = γ 1 γ 2 ...γ n = \pm1$ . Avec ces notations, l'intégrale se réécrit :

\int _{0}^{+\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}

avec $C n = 1$ si $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$ , et

C_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })

sinon.

Le cas de Borwein correspond à la suite $a k = 1 / 2 k +1$ .

Pour $n = 7$ on a $a 7 = 1 / 15$ , et $1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 13 < 1$ mais $1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 7 + 1 / 9 + 1 / 11 + 1 / 13 + 1 / 15 > 1$ . Ainsi, puisque $a 0 = 1$ , on trouve bien

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}

(pour n = 6, et de même pour toutes les intégrales avec n < 7), mais

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right).

Notes

Le site de MathOverflow mentionne ces intégrales (en) comme ayant fait craindre une erreur dans un système de calcul formel, jusqu'à ce que les programmeurs réalisent que le résultat était correct.
(en) Hanspeter Schmid, « Two curious integrals and a graphic proof », Elemente der Mathematik, vol. 69, n^o 1,‎ 2014, p. 11–17 (ISSN 0013-6018, DOI 10.4171/EM/239, lire en ligne)
(en) Satya Majumdar et Emmanuel Trizac, « When random walkers help solving intriguing integrals », Physical Review Letters, vol. 123,‎ 2019, p. 020201 (ISSN 1079-7114, DOI https://doi.org/10.1103, lire en ligne)
David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, n^o 1,‎ 2001, p. 73–89 (ISSN 1382-4090, DOI 10.1023/A:1011497229317, Math Reviews 1829810, lire en ligne)

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borwein integral » (voir la liste des auteurs).
(en) David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, n^o 1,‎ 2001, p. 73-89 (DOI 10.1023/A:1011497229317, Math Reviews 1829810, lire en ligne)

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[1] Le site de MathOverflow mentionne ces intégrales (en) comme ayant fait craindre une erreur dans un système de calcul formel, jusqu'à ce que les programmeurs réalisent que le résultat était correct.

[2] (en) Hanspeter Schmid, « Two curious integrals and a graphic proof », Elemente der Mathematik, vol. 69, n^o 1,‎ 2014, p. 11–17 (ISSN 0013-6018, DOI 10.4171/EM/239, lire en ligne)

[3] (en) Satya Majumdar et Emmanuel Trizac, « When random walkers help solving intriguing integrals », Physical Review Letters, vol. 123,‎ 2019, p. 020201 (ISSN 1079-7114, DOI https://doi.org/10.1103, lire en ligne)

[4] David Borwein et Jonathan M. Borwein, « Some remarkable properties of sinc and related integrals », The Ramanujan Journal, vol. 5, n^o 1,‎ 2001, p. 73–89 (ISSN 1382-4090, DOI 10.1023/A:1011497229317, Math Reviews 1829810, lire en ligne)