Intégrale curviligne

En géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe $Γ$ . Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe.

Dans cet article, $Γ$ est un arc orienté dans ℝⁿ, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée $t \mapsto γ(t)$ , avec $t \in [a, b]$ .

Intégrale d'un champ scalaire

Intégrale curviligne d'un champ scalaire.

On définit l'intégrale curviligne d'un champ scalaire continu $f:\Gamma \to \mathbb {R}$ comme l'intégrale de Stieltjes de $f \circγ$ par rapport à l'abscisse curviligne $s γ (t)$ (longueur de l'arc $γ$ restreint à $[a, t]$ )[1] :

\int _{\Gamma }f\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\,\mathrm {d} s_{\gamma },

c'est-à-dire la limite, quand le pas de la subdivision pointée de $[a, b]$ tend vers 0, des sommes de Riemann associées : $\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t'_{k}))\left(s_{\gamma }(t_{k})-s_{\gamma }(t_{k-1})\right)$ où la subdivision pointée est notée : $a = t 0 < t 1 < \dots < t n = b, t' k \in [t k -1, t k]$ .

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de $Γ$ , ni de l'orientation.

La longueur $s γ (b)$ de l'arc $Γ$ est l'intégrale curviligne de la fonction constante $1$ .

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\|\gamma '(t)\|\mathrm {d} t.$

Analyse vectorielle

Circulation d'un champ vectoriel.

On définit également la circulation le long de $Γ$ d'un champ vectoriel continu $f:\Gamma \to \mathbb {R} ^{n}$ comme une intégrale de Stieltjes :

\int _{\Gamma }f\cdot \,\mathrm {d} \gamma =\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\cdot \,\mathrm {d} \gamma ,

où $∙$ désigne le produit scalaire[2].

Cette définition ne dépend pas du paramétrage de $Γ$ mais dépend de l'orientation (l'intégrale est changée en son opposée quand la courbe est parcourue en sens inverse).

On peut reformuler cette définition en notant $ω$ la 1-forme différentielle « produit scalaire par $f$ » : si $ω$ est une 1-forme différentielle continue sur le support de $Γ$ , on définit l'intégrale curviligne de $ω$ le long de $Γ$ par :

\int _{\Gamma }\omega =\int _{a}^{b}\langle \omega \circ \gamma ,\mathrm {d} \gamma \rangle ,

où $⟨∙, ∙⟩$ est le crochet de dualité.

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f\cdot \,\mathrm {d} \gamma =\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,\mathrm {d} t\quad {\rm {et}}\quad \int _{\Gamma }\omega =\int _{a}^{b}\omega _{\gamma (t)}(\gamma '(t))\,\mathrm {d} t.$

Analyse complexe

Pour n = 2 et en identifiant ℝ² au plan complexe, on définit l'intégrale curviligne d'une fonction continue $f:\Gamma \to \mathbb {C}$ comme l'intégrale de la 1-forme différentielle « produit (complexe) par $f$ » :

\int _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}(f\circ \gamma )\,\mathrm {d} \gamma .

Si $γ$ est de classe C¹, $\int _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.$

Lorsque $Γ$ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident), il arrive qu'on utilise la notation : $\oint _{\Gamma }f(z)\,\mathrm {d} z.$

Exemple

Soit la fonction $f (z) = 1/ z$ , et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par $e i t$ , avec $t$ parcourant $[0, 2π]$ . L'intégrale correspondante est $\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }{1 \over {\rm {e}}^{{\rm {i}}t}}{\rm {i}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }{\rm {i}}\,\mathrm {d} t=2\pi {\rm {i}}.$

Propriétés

Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.

Références

(en) John Charles Burkill et H. Burkill, A Second Course in Mathematical Analysis, CUP, 2002 (lire en ligne), p. 255.
(en) Murray H. Protter et Charles B. Morrey, Jr. (en), A First Course in Real Analysis, Springer, 1997, 2^e éd. (lire en ligne), p. 435.

Articles connexes

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[1] (en) John Charles Burkill et H. Burkill, A Second Course in Mathematical Analysis, CUP, 2002 (lire en ligne), p. 255.

[2] (en) Murray H. Protter et Charles B. Morrey, Jr. (en), A First Course in Real Analysis, Springer, 1997, 2^e éd. (lire en ligne), p. 435.