Intégrale d'Itō

L'intégrale d'Itō, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itō par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itō montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X[1], qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) ainsi que un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à , alors l'intégrale d'Itô

est définie par la limite en moyenne quadratique de

lorsque le pas de la partition de tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par , est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: . Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Notes et références

  1. Revuz et Yor 1999, Chapter IV.

Bibliographie

Articles connexes

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