Isomorphisme de catégories

En théorie des catégories, deux catégories ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : ${\mathcal {C}}$ → ${\mathcal {D}}$ et G : ${\mathcal {D}}$ → ${\mathcal {C}}$ tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1_D (le foncteur identité de ${\mathcal {D}}$ ) et GF = 1_C.

Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories.

Exemple

Soit ${\mathcal {C}}$ la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et ${\mathcal {D}}$ la catégorie des ensembles munis d'un préordre. Alors les deux catégories sont isomorphes au moyen des deux foncteurs suivants :

F associe à un espace topologique le même espace, muni de la relation de préordre suivante : $x\leq y$ si et seulement si x est adhérent à {y}. F transforme une application continue f de X dans Y en la même application, mais vue comme application croissante de F(X) dans F(Y).
G associe à un espace préordonné le même espace muni de la topologie engendrée par les ouverts $\{y\,|\,x\leq y\}$ . G transforme une application croissante f de A dans B en la même application, mais vue comme application continue de G(A) dans G(B).

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