Jacques Philippe Marie Binet

Elle fournit le n-ième terme ${\displaystyle u_{n}\,}$ de la suite de Fibonacci. Celle-ci est définie par la formule de récurrence suivante :

• ${\displaystyle u_{0}=0}$
• ${\displaystyle u_{1}=1}$
• ${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}$, pour n > 1

${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]}$.

De nombreuses démonstrations de cette formule existent (par récurrence, en utilisant les séries génératrices, etc.) ; on trouvera en particulier une démonstration utilisant la transformée en Z dans l'article de même nom.

Bien que traditionnellement attribuée à Binet (qui l'a publiée en 1834), cette formule avait déjà été obtenue par Abraham de Moivre en 1718, et démontrée rigoureusement par Leonhard Euler en 1765.

Soient M un mobile ponctuel animé d'un mouvement à accélération centrale ${\displaystyle {\overrightarrow {\Gamma }}}$ de centre ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ et ${\displaystyle (r,\theta )\,}$ les coordonnées polaires de M dans un repère ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {O}}_{x})}$. La vitesse ${\displaystyle v\,}$ et le vecteur accélération ${\displaystyle {\overrightarrow {\Gamma }}}$ de M vérifient les formules suivantes :

• ${\displaystyle v^{2}\,={\mathcal {C}}^{2}\left[h^{2}+\left({\frac {dh}{d\theta }}\right)^{2}\right]}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {\Gamma }}=-{\mathcal {C}}^{2}h^{2}\left[{\frac {d^{2}h}{d\theta ^{2}}}+h\right]{\overrightarrow {u}}}$

où ${\displaystyle h\,}$ est égal à ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ est le vecteur unitaire tel que ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=r{\overrightarrow {u}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ est une constante égale au double de la vitesse aréolaire (constante) de M.

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• (en) http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Binet.html
• (fr) http://www.uel-pcsm.education.fr/consultation/reference/physique/meca/apprendre/chapitrea/a6.htm#Binet
• YAN Kun(2005). The general expression of Binet equation about celestial bodies motion orbits(Approximate solutions of Binet equation for celestial bodies motion orbits in the weak and strong gravitational field), DOI:10.3969/j.issn.1004-2903.2005.02.052.

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