L-théorie algébrique

En mathématiques, la « L-théorie algébrique » est l'équivalent de la K -théorie pour des formes quadratiques. Le terme a été inventé par C. T. C. Wall, qui a utilisé L car c'était la lettre après le K . La théorie L algébrique, également connue sous le nom de « théorie K hermitienne », est importante dans la théorie de la chirurgie[1].

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Définition

On peut définir des L -groupes pour tout anneau d'involution R : les L -groupes quadratiques (Wall) et les L -groupes symétriques (Mishchenko, Ranicki).

Dimension paire

Les L-groupes de dimension paire sont définis comme les groupes de Witt de formes ε-quadratiques sur l'anneau R avec . Plus précisément, est le groupe abélien de classes d'équivalence et de formes ε-quadratiques non dégénérées sur R, où les R-modules F sous-jacents sont libres de génération finie. La relation d'équivalence est donnée par stabilisation par rapport aux formes ε-quadratiques hyperboliques :


.

L'addition dans est défini par

L'élément zéro est représenté par pour tout . L'inverse de est .

Dimension impaire

La définition des L-groupes de dimension impaire est plus compliquée ; de plus amples détails et la définition des L-groupes de dimension impaire peuvent être trouvés dans les références mentionnées ci-dessous.

Exemples et applications

Les L -groupes d'un groupe sont les L-groupes de l'anneau . Dans les applications à la topologie, est le groupe fondamental d'un espace . Les L -groupes quadratiques jouent un rôle central dans la classification chirurgicale des types d'homotopie -variétés dimensionnelles de dimension , et dans la formulation de la conjecture de Novikov .

La distinction entre les L-groupes symétriques et les L-groupes quadratiques, indiquée par des indices supérieurs et inférieurs, reflète l'utilisation dans l'homologie et la cohomologie de groupe. La cohomologie de groupe du groupe cyclique traite des points fixes d'une action , tandis que l' homologie de groupe traite des orbites d'une action , compare (points fixes) et (orbites, quotient) pour la notation d'index supérieur/inférieur.

Les L -groupes quadratiques : et les L -groupes symétriques : sont liés par une carte de symétrisation qui est un isomorphisme modulo 2-torsion, et qui correspond aux identités de polarisation .

Les L-groupes quadratiques et symétriques sont quadratiques périodiques (le commentaire de Ranicki, page 12, sur la non-périodicité des L-groupes symétriques fait référence à un autre type de L-groupes, défini à l'aide de "complexes courts").

Compte tenu des applications à la classification des variétés, il existe des calculs approfondis des -groupes quadratiques . Pour des finis, des méthodes algébriques sont utilisées; pour des infinis, on utilise principalement des méthodes géométriques (par exemple la topologie contrôlée).

Plus généralement, on peut définir des L -groupes pour toute catégorie additive avec une dualité de chaîne, comme dans Ranicki (section 1).

Entiers

Les L -groupes simplement connectés sont aussi les L -groupes des entiers, comme pour = ou Pour les L-groupes quadratiques, ce sont les obstacles chirurgicaux à la chirurgie simplement connexe .

Les L -groupes quadratiques des entiers sont :

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes quadratiques détectent la signature ; en dimension simplement paire (4 k +2), les L -groupes détectent l' invariant Arf (topologiquement l' invariant de Kervaire ).

Les L -groupes symétriques des entiers sont :

En dimension pairement paire (4 k ), les L -groupes symétriques, comme les L -groupes quadratiques, détectent la signature ; en dimension (4 k +1), les L -groupes détectent l' invariant de de Rham .

Références

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