Largeur à mi-hauteur

Exemple d'un faisceau laser

Lorsque la fonction considérée est la distribution normale de la forme :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

où ${\displaystyle \sigma }$ est l'écart type et ${\displaystyle x_{0}}$ une valeur quelconque (la largeur de la fonction est invariante par translation).

Relation entre largeur à mi-hauteur et écart-type

${\displaystyle \mathrm {LMH} =2{\sqrt {2\ln(2)}}\;\sigma \approx 2,355\;\sigma }$

Ou encore, dans le cadre de l'étude des faisceaux gaussiens, avec ${\displaystyle w}$, la demi-largeur à ${\displaystyle 1/e^{2}}$ (beam radius) :

${\displaystyle w={\frac {\mathrm {LMH} }{\sqrt {2\ln(2)}}}\approx 0,8493218\;\mathrm {LMH} }$

Une autre fonction importante, liée aux solitons en optique, est la sécante hyperbolique :

${\displaystyle f(x)=\operatorname {sech} \left({\frac {x}{\mathrm {X} }}\right)}$

La translation n'affectant pas la largeur à mi-hauteur, elle n'est pas prise en compte. Pour cette impulsion, nous avons :

${\displaystyle \mathrm {LMH} =2\;\operatorname {arsech} \left({\frac {1}{2}}\right)\mathrm {X} =2\ln(2+{\sqrt {3}})\;\mathrm {X} \approx 2,634\;\mathrm {X} }$

où arsech est l'argument sécante hyperbolique.