Lemme de Céa

Le lemme de Céa —du nom de Jean Céa— est un lemme mathématique. Il permet de montrer des estimations d'erreurs pour la méthode des éléments finis appliquée aux équations aux dérivées partielles elliptiques.

Énoncé

Soit un espace de Hilbert réel muni de la norme Soit une forme bilinéaire telle que :

  • pour une constante et pour tout dans (continuité)
  • pour une constante et tout dans (coercivité ou -ellipticité).

Soit une forme linéaire continue.

Cherchons un élément dans tel que

pour tout dans

Considérons le même problème dans le sous-espace de dimension finie de tel que, vérifie

pour tout dans

Le Théorème de Lax-Milgram garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour chacun de ces deux problèmes. Le lemme de Céa est l'inégalité suivante

pour tout dans

Autrement dit est « la meilleure » approximation de dans à une constante multiplicative près.

La preuve est immédiate

pour tout dans

Nous avons utilisé la -orthogonalité de et

qui découle directement de

pour tout dans .

Note : Le lemme de Céa est aussi valable dans les espaces de Hilbert complexes, on considère une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. L'hypothèse de coercivité devient pour tout dans (Notez le module autour de ).

Références

    Bibliographie

    • (en) Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, vol. 2 (PhD thesis), coll. « Annales de l'institut Fourier 14 », , 345–444 p., PDF (lire en ligne) (Article original de J. Céa)
    • (en) Claes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-34514-6)
    • (en) Peter Monk, Finite element methods for Maxwell's equations, Oxford/New York/Oxford/New York, Oxford University Press, , 450 p. (ISBN 0-19-850888-3)
    • (en) H.-G. Roos, Stynes, M. et Tobiska, L., Numerical methods for singularly perturbed differential equations : convection-diffusion and flow problems, Berlin; New York: Springer-Verlag, (ISBN 3-540-60718-8)
    • (en) K. Eriksson, Estep, D., Hansbo, P. et Johnson, C., Computational differential equations, Cambridge/New York/Melbourne, Cambridge; New York: Cambridge University Press, , 538 p. (ISBN 0-521-56738-6)
    • (en) Eberhard Zeidler, Applied functional analysis : applications to mathematical physics, New York: Springer-Verlag, , 481 p. (ISBN 0-387-94442-7, lire en ligne)
    • (en) Susanne C. Brenner et L. Ridgeway Scott, The mathematical theory of finite element methods, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, , 2e éd., 361 p. (ISBN 0-387-95451-1, OCLC 48892839, lire en ligne)
    • (en) Philippe G. Ciarlet, The finite element method for elliptic problems, Philadelphia (Pa.), (SIAM Classics reprint), , 530 p. (ISBN 0-89871-514-8, OCLC 48892573, lire en ligne)
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