Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le principe de symétrie de Schwarz.

Ne doit pas être confondu avec Théorème de Schwarz.

Ne doit pas être confondu avec Lemme de Schwartz-Zippel.

Énoncé

Soit une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  • .

Alors on a :

pour tout appartenant à D et .

Si, de plus, il existe un élément non nul de D vérifiant , ou bien si , alors il existe un nombre complexe de module 1 tel que pour tout appartenant à .

Preuve

La preuve[1] est une application directe du principe du maximum.

Lemme de Schwarz-Pick

Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick[2], nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité[3] :

Soit f : DD une fonction holomorphe. Alors, pour tout z1, z2  D,

et, pour tout z  D,

.

L'expression

est une distance au sens de la métrique de Poincaré. Le lemme de Schwarz-Pick nous donne que toute fonction holomorphe du disque unité dans lui-même réduit la distance entre deux points au sens de la métrique de Poincaré. Si l'égalité a lieu dans l'une des deux inégalités du lemme (ce qui est équivalent à dire que l'application holomorphe f préserve la distance dans la métrique de Poincaré), alors f est un automorphisme analytique, donné par une transformation de Möbius envoyant le disque unité vers lui-même.

Un énoncé équivalent sur le demi-plan de Poincaré H peut être fait :

Soit f : HH une fonction holomorphe. Alors, pour tout, z1, z2H,

.

C'est une conséquence directe du lemme de Schwarz-Pick : en utilisant le fait qu'une transformation de Cayley W(z) = (z  i)/(z + i) est une application conforme envoyant le demi-plan supérieur H vers le disque unité D, on obtient que l'application W  f  W−1 est holomorphe et envoie D sur D. En appliquant le lemme de Schwarz-Pick à la fonction W  f  W−1 et en utilisant l'expression explicite de W, on arrive au résultat voulu. De même, pour tout z  H,

.

Si l'égalité a lieu pour l'une de deux inégalités précédentes, alors f est une transformation de Möbius à coefficients réels, c'est-à-dire

avec a, b, c, dR, et ad  bc > 0.

Bibliographie

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schwarz lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. Cartan, p. 84.
  2. Hervé Queffélec, Analyse pour l'agrégation : cours et exercices corrigés, Paris, Dunod, , 635 p. (ISBN 978-2-10-070093-6, OCLC 862735438), p. 575.
  3. Cartan, p. 175-187.


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