Lemme des tresses

En algèbre linéaire, le lemme des tresses[1] énonce une condition suffisante pour qu'une fonction trilinéaire soit la fonction nulle.

Ne doit pas être confondu avec Théorie des tresses.

Énoncé

Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit f : E3 → F une fonction trilinéaire, antisymétrique par rapport à ses deux premières variables et symétrique par rapport à ses deux dernières variables. Alors f est la fonction nulle sur E3.

Preuve

Soit (u, v, w) appartenant à E3. donc f est la fonction nulle.

Application

Ce lemme permet de montrer[2] que pour tout ouvert connexe U d'un espace euclidien E, une application de U dans E de classe C2 dont la différentielle en tout point est une isométrie vectorielle ne peut être qu'une isométrie affine (restreinte à U).

Notes et références
  1. (en) Marcel Berger, Geometry I, Springer, , p. 224, 9.5.4.9, Braid lemma.
  2. « L3 Mathématiques fondamentales, 1er semestre 2009-2010, Examen de calcul différentiel »(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?).
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