Logique contextuelle

Une pensée dit des relations entre des propositions atomiques de L_p. Il y a aussi des méta-pensées (Jacques Pitrat[6]) (qui disent des relations entre des pensées, et peut-être des propositions atomiques de L_p), probablement des méta-méta-pensées, etc. Cela établit une relation d’ordre entre les pensées. Pour la formaliser, les propositions élémentaires de L_p sont dites de rang 0, les pensées de rang 1, les méta-pensées de rang 2, etc. Le contexte vide est dit de rang 0. Un contexte est de rang i>0 s’il est composé de pensées dont le rang est supérieur ou égal à i, et de rang strictement i si toutes les pensées qui le composent sont de rang i.

Un contexte est dit :

• « impossible » si, et seulement si, il n’est vérifié dans aucun modèle vérifiant l’ensemble des formules considéré. Il est dit « possible » sinon,
• « impossible minimal » si tout contexte qu’il contient strictement est possible,
• « possible maximal » si tout contexte qui le contient strictement est impossible,
• « crédible » s’il n’a pas de jointure non vide avec un contexte impossible minimal,
• « crédible maximal » s’il contient tous les contextes crédibles.

L_c ne propose pas de définition des contextes de référence. Parmi les possibilités, une solution est de sélectionner les contextes possibles maximaux de rang au moins 2, en utilisant le rang comme une relation d’ordre pour privilégier des pensées sur les autres, puis de retenir les contextes crédibles maximaux de rang 1 associés à cette sélection :

Pour i le plus haut rang des pensées dans E_Lc, soit C_i+1 le contexte vide.

Pour j = i à 2, sélection dans chaque {E_Lc, C_j+1} des contextes C_j possibles maximaux de rang j.

Pour chaque C₂ obtenu, sélection du contexte crédible maximal de rang 1 dans {E_Lc, C₂}.

Les contextes ainsi définis sont appelés les « contextes épistémiques ».

Soient l’ensemble des propositions élémentaires {a, b, c, d} et un ensemble de formules :

E_Lp = {a → b, c → a, d → a, d → ¬ b}

Le besoin est de pouvoir dire que la formule a → b est vraie en général. Elle serait vraie lorsque c est vraie (ce qui permettrait de déduire b), mais fausse lorsque d est vraie (ce qui permettrait de ne pas produire simultanément b et ¬ b). L’ensemble contient quatre formules. Soient A, B, C et D les pensées associées. Selon le postulat contextuel, ce sont des propositions élémentaires. L'ensemble devient :

E_Lc = {A ⊨ a → b, B ⊨ c → a, C ⊨ d → a, D ⊨ d → ¬ b}

Soient A' et B' qui disent respectivement que la pensée A est vraie et que la pensée A est fausse :

E_Lc = {A ⊨ a → b, B ⊨ c → a, C ⊨ d → a, D ⊨ d → ¬ b, A' ⊨ A, B' ⊨ ¬ A}

Si H ⊨ c, il y a deux contextes épistémiques :

• {A', A, B, C, D, H}, qui produit {a, b, c, ¬ d}.
• {B', B, C, D, H}, qui produit {a, c}.

→ Si H ⊨ c, alors b ∧ c et a ∧ c sont crédibles : si c est pris comme hypothèse, a → b est crédible.

Si H ⊨ d, il y a deux contextes épistémiques :

• {A', A, B}, qui produit {a → b, c → a}.
• {B', B, C, D, H}, qui produit {a, ¬ b, d}.

→ Si H ⊨ d, alors ¬ b ∧ d et a ∧ d sont crédibles, et a → b est possible, ainsi que a ∧ ¬ b ∧ d. Si d est pris comme hypothèse, a → b n'est pas crédible.

Enfin, si l’hypothèse est le contexte vide, les contextes épistémiques sont {B’, B, C, D}, qui ne produit pas de proposition élémentaire de rang 0, et {A', A, B, C, D}, qui produit ¬ d. Dit autrement : à défaut d'hypothèse, d est improbable.

Dans L_c, un ensemble de connaissances est toujours syntaxiquement cohérent (« toutes les pensées sont fausses » caractérise un modèle possible).

L_c respecte les règles de production syntaxique de la logique propositionnelle. Il est de ce fait syntaxiquement monotone.

L_c est sémantiquement non monotone : l’adjonction d’une nouvelle connaissance peut entraîner une modification des contextes de références, et donc des résultats de l’interprétation sémantique.

L_c a une conception perspectiviste de la connaissance : les contextes de référence identifient des sous-ensembles des connaissances (des perspectives), et l’interprétation sémantique est la somme des interprétations issues de chaque perspective. En supposant f, g et h trois formules telles que f ∧ g ⊢ h, la sémantique contextuelle peut se prononcer sur f et sur g (selon deux contextes éventuellement distincts), et dire dans le même instant que h n’est pas interprétable. Une application immédiate est la possibilité d’interpréter une croyance f comme étant simultanément vraie et fausse (cad possible dans la sémantique de L_c) selon deux perspectives différentes.

L_c a une conception faillibiliste de la connaissance : toute pensée pouvant être fausse, L_c interprète comme crédible une croyance dès l’instant où elle est produite par un raisonnement justifiable et qui ne la contredit pas. La justification est portée par la définition retenue pour construire les contextes de référence.

Les langages formels classiques infèrent des formules par application du modus ponens. Ce sont des productions par déduction, l’imagination leur échappe complètement. La cohérence sémantique d'expression qui n’est pas produite par les règles classiques du langage formel est forcément incertaine, et son apparition pourrait générer une explosion en logique classique.

Dans L_c, la garantie de la cohérence syntaxe permet d’étendre les connaissances par n’importe quelle autre connaissance, à condition qu’elle soit portée par une pensée nouvelle. La logique contextuelle peut donc supporter des productions par induction ou par abduction par exemple – ou, de manière générale, toute combinaison de signes syntaxiquement bien formée.