Loi de Gauss-Kuzmin

Soit ${\displaystyle U}$ une variable aléatoire uniforme sur ${\displaystyle ]0,1[}$ et

${\displaystyle U={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

son développement en fraction continue. Alors

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)~.}$

Ou de manière équivalente, en notant ${\displaystyle U_{n}=1/(k_{n+1}+1/(k_{n+2}+\cdots ))~;}$ alors

${\displaystyle \Delta _{n}(s):=\mathbb {P} \left\{U_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

converge vers 0 quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini.

En 1928, Kuzmin donne la borne

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\exp(-\alpha {\sqrt {n}})}$.

En 1929, Paul Lévy[7] l'améliore en majorant

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq C\,0{,}7^{n}}$.

Plus tard, Eduard Wirsing (de) montre[8]^,[9] que pour ${\displaystyle \lambda =0{,}30366\dots }$ (la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing[10]), la limite

${\displaystyle \Psi (s)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta _{n}(s)}{(-\lambda )^{n}}}}$

existe pour tout ${\displaystyle s\in [0,1]}$, et la fonction ${\displaystyle \Psi }$ est analytique et satisfait ${\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0}$. D'autres bornes ont été établies par K. I. Babenko[11].

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