Loi de Nakagami

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Nakagami ou loi de m-Nakagami est une loi de probabilité continue à deux paramètres et de support $[0,\infty [$ . Le paramètre $m>0$ est un paramètre de forme, le second paramètre $\omega >0$ permet de contrôler la propagation. Cette loi est liée à la loi gamma, son nom est issu du statisticien Minoru Nakagami.

Loi de Nakagami
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$m\geq 1/2$ , paramètre de forme $\omega >0$ , propagation
Support	$x>0\!$
Densité de probabilité	${\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)$
Fonction de répartition	${\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}$
Espérance	${\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\omega }{m}}\right)^{1/2}$
Médiane	pas d'expression formelle
Mode	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\omega }{m}}\right)^{1/2}$
Variance	$\omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)$

Caractérisations

La densité de probabilité de la loi de Nakagami est donnée par[1] :

f(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

où $\Gamma$ est la fonction Gamma.

Sa fonction de répartition est :

F(x;\,m,\omega )={\begin{cases}\displaystyle P\left(m,{\frac {m}{\omega }}x^{2}\right)&{\text{ pour }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

où P est la fonction gamma incomplète (régularisée).

Estimation des paramètres

Les paramètres $m$ et $\omega$ sont[2] :

m={\frac {\mathbb {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{Var\left[X^{2}\right]}},

et

\omega =\mathbb {E} \left[X^{2}\right].

Simulation

La loi Nakagami est liée à la loi Gamma. En particulier, pour une variable aléatoire Y de loi Gamma, $Y\,\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )$ , il est possible d'obtenir une variable aléatoire X de loi de Nakagami, $X\,\sim {\textrm {Nakagami}}(\mu ,\omega )$ , en posant $k=m$ , $\theta =\omega /m$ , et en considérant la racine carrée de Y :

X={\sqrt {Y}}\,

.

Historique et applications

L'utilisation de la loi de Nakagami remonte à 1960[3], c'est-à-dire que c'est une loi relativement nouvelle. Elle est utilisée pour modéliser l’atténuation des réseaux sans fils au travers de plusieurs chemins[4].

Références

(en) Matthias Pätzold, Mobile Radio Channels, Wiley, 2012, 2^e éd., 583 p. (ISBN 978-0-470-51747-5, lire en ligne), p. 30
R. Kolar, R. Jirik, J. Jan (2004) "Estimator Comparison of the Nakagami-m Parameter and Its Application in Echocardiography", Radioengineering, 13 (1), 8–12
M. Nakagami. "The m-Distribution, a general formula of intensity of rapid fading". In William C. Hoffman, editor, Statistical Methods in Radio Wave Propagation: Proceedings of a Symposium held June 18-20, 1958, pp 3-36. Permagon Press, 1960.
J. D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel. New York: Wiley, 1992.

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[1] (en) Matthias Pätzold, Mobile Radio Channels, Wiley, 2012, 2^e éd., 583 p. (ISBN 978-0-470-51747-5, lire en ligne), p. 30

[2] R. Kolar, R. Jirik, J. Jan (2004) "Estimator Comparison of the Nakagami-m Parameter and Its Application in Echocardiography", Radioengineering, 13 (1), 8–12

[3] M. Nakagami. "The m-Distribution, a general formula of intensity of rapid fading". In William C. Hoffman, editor, Statistical Methods in Radio Wave Propagation: Proceedings of a Symposium held June 18-20, 1958, pp 3-36. Permagon Press, 1960.

[4] J. D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel. New York: Wiley, 1992.