Loi de Rademacher

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Rademacher est une loi de probabilité discrète ayant une probabilité 1/2 d'obtenir 1 et 1/2 d'obtenir -1. Le nom de cette loi vient du mathématicien Hans Rademacher.

loi de Rademacher



Support	$k\in \{-1,1\}\,$
Fonction de masse	$f(k)={\begin{cases}1/2,&k=-1\\1/2,&k=1\end{cases}}$
Fonction de répartition	$F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}$
Espérance	$0\,$
Médiane	$0\,$
Mode	N/A
Variance	$1\,$
Asymétrie	$0\,$
Kurtosis normalisé	$-2\,$
Entropie	$\ln(2)\,$
Fonction génératrice des moments	$\cosh(t)\,$
Fonction caractéristique	$\cos(t)\,$

Cette loi correspond au gain lors d'un jeu de pile ou face dans lequel la mise est de 1 : un joueur a une probabilité de 1/2 de gagner, c'est-à-dire gagner 1, et 1/2 de perdre, c'est-à-dire gagner -1

Fonction de masse

La fonction de masse de la loi de Rademacher est donnée par :

f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{sinon.}}\end{matrix}}\right.

Elle peut également être écrite de manière équivalente : $f={\frac {1}{2}}}1\!\!\!1_{\{-1,1\}.$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Rademacher est donnée par :

F(k)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}k<-1\\1/2,&{\mbox{si }}-1\leq k<1\\1,&{\mbox{si }}k\geq 1\end{cases}}

Liens avec d'autres lois

Loi de Bernoulli : Si X suit la loi de Rademacher, alors ${\frac {X+1}{2}}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre ${\frac {1}{2}}$ .

Article connexe

Complexité de Rademacher

Portail des probabilités et de la statistique

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