Loi multinomiale

Pile ou face.

On considère une pièce de monnaie où la probabilité de faire « pile » est p. On considère une variable aléatoire binomiale K : il s'agit du nombre de « piles » obtenus pour n lancers d'une pièce de monnaie. La fonction de probabilité s'écrit

${\displaystyle \mathbb {P} (K=k)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

Cette fonction peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables ${\displaystyle N_{1}}$ et ${\displaystyle N_{2}}$ dont la somme est égale à n : ${\displaystyle N_{1}}$ est le nombre de « piles » obtenus durant n lancers et ${\displaystyle N_{2}}$ est le nombre de « faces » obtenues durant ces n lancers. Formellement,

${\displaystyle N_{1}=K,\quad N_{2}=n-K,\quad p_{1}=p,\quad p_{2}=1-p}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{1}=n_{1},N_{2}=n_{2})={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!}}p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}}$.

Un dé.

Dans le cas multinomial à ${\displaystyle m\,}$ résultats possibles au lieu de 2, les variables aléatoires deviennent ${\displaystyle N_{i}\,}$, ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}\,}$ et correspondent aux probabilités ${\displaystyle p_{i}\,}$, ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,m\}\,}$ avec les contraintes

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=n\quad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1}$.

Par exemple, pour n lancers d'un dé à six faces, ${\displaystyle N_{i}\,}$est le nombre de fois où on obtient ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,6\}\,}$. Pour un dé non pipé, on a ${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{6}}}$ pour tout ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,6\}\,}$. Si le dé est pipé, alors les valeurs ${\displaystyle p_{i}\,}$sont différentes.

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{1}=n_{1},\ldots N_{m}=n_{m})={\frac {n!}{n_{1}!\ldots n_{m}!}}p_{1}^{n_{1}}\ldots p_{m}^{n_{m}}}$.

Chacune des variables ${\displaystyle N_{i}\,}$ suit une loi binomiale dont l'espérance et la variance sont

${\displaystyle \mathbb {E} (N_{i})=np_{i}\quad \operatorname {var} (N_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$

tandis que les covariances s'écrivent

${\displaystyle \operatorname {cov} (N_{i},N_{j})=-np_{i}p_{j}\,}$.

Lorsque la variable aléatoire N_i devient assez grande, le théorème central limite montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite ${\displaystyle {\frac {N_{i}-np_{i}}{\sqrt {np_{i}(1-p_{i})}}}}$.

Si ces variables ${\displaystyle N_{1},\dots ,N_{m}}$ étaient indépendantes, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}(1-p_{i})}}}$ suivrait une loi du χ² à m degrés de liberté. Mais les variables ${\displaystyle N_{1},\dots ,N_{m}}$ne sont pas indépendantes : en effet, nous avons la contrainte linéaire ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}N_{i}=n}$. Du fait de cette contrainte linéaire, la variable ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {(N_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}}}$ suit une loi du χ² à (m - 1) degrés de liberté. ^[pas clair]

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

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