Loi normale asymétrique

Soit ${\displaystyle \phi (x)}$ la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

avec sa fonction de répartition donnée par

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+{\text{erf}}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x-\xi }{\omega }}}$. On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque ${\displaystyle \alpha =0}$, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de ${\displaystyle \alpha }$ augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si ${\displaystyle \alpha >0}$ et est asymétrique vers la gauche si ${\displaystyle \alpha <0}$. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {2}{\omega }}\right)\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,}$

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \omega }$, et ${\displaystyle \alpha }$ peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si ${\displaystyle \alpha =0}$. Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer ${\displaystyle \alpha }$ à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

${\displaystyle |\delta |={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}}}{\sqrt {|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}}+((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}$

où ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$, et ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{3}}$ est l'asymétrie empirique. Le signe de ${\displaystyle \delta }$ est le même que celui de ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{3}}$. Par conséquent, ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\delta /{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}$.

(en) A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », Scand. J. Statist., vol. 12,‎ 1985, p. 171–178